江苏省宿迁市沭阳县2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x - y - 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{3}{4} π$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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2. 若直线 $l_{1} ： x + (m - 1) y + 5 = 0$ 与直线 $l_{2} ： m x + 2 y + 2 = 0$ 平行，则 $m$ 的值为（）

A、-1 B、2 C、-1或2 D、1或-2

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3. 若抛物线 $y^{2} = 16 x$ 上的点 $M$ 到焦点的距离为8，则点 $M$ 到 $y$ 轴的距离是（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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4. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + m + 8 = 0$ 相外切，则m的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 $π$ 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的面积为 $8 \sqrt{3} π$ ，且椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则椭圆C的标准方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{8} = 1$

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6. 若双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线被以焦点为圆心的圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ 所截得的弦长为 $\sqrt{2}$ ，则a的值为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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7. 过点 $M (1 ， 1)$ 的直线 $l$ 交椭圆： $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 于 $A ， B$ 两点，若 $\vec{A M} = \vec{M B}$ ，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $- \frac{5}{4}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{4}$

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8. 直线y=-x+1与曲线 $x = \sqrt{1 - y^{2}}$ 的交点个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、多选题

9. 下列有关直线l： $x + m y + 2 m = 0$ （ $m \in R$ ）的说法中正确的是（）

A、直线l的斜率为 $- m$ B、在x轴上的截距为 $- 2 m$ C、直线l过定点 $(- 2 ， 0)$ D、直线l过定点 $(0 ， - 2)$

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10. 若方程 $\frac{x^{2}}{3 - t} + \frac{y^{2}}{t - 1} = 1$ 所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（）

A、若C为椭圆，则 $1 < t < 3$ ，且 $t \neq 2$ B、若C为双曲线，则 $t > 3$ 或 $t < 1$ C、若 $t = 2$ ，则曲线C表示圆 D、若C为双曲线，则焦距为定值

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11. 一条光线从点 $(0 ， 1)$ 射出，经 $x$ 轴反射后与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ 相切，则反射光线所在直线的方程是（）

A、 $4 x - 3 y - 3 = 0$ B、 $y = 1$ C、 $3 x - 4 y - 4 = 0$ D、 $y = - 1$

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12. 过抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点F作直线交抛物线C于A，B两点，则（）

A、 $| A B |$ 的最小值为4 B、以线段 $A B$ 为直径的圆与y轴相切 C、 $\frac{1}{| F A |} + \frac{1}{| F B |} = 1$ D、当 $\vec{A F} = 3 \vec{F B}$ 时，直线 $A B$ 的斜率为 $\pm \sqrt{3}$

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三、填空题

13. 已知直线 $l_{1}$ ： $a x + y + 1 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $2 x - b y - 1 = 0$ 相交于点 $M (1 ， 1)$ ，则 $a - b =$ .

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14. 若直线 $x + y - m = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 有公共点，则实数m的取值范围是.

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15. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 且倾斜角为60°的直线 $l_{1}$ 与过 $F_{2}$ 的直线 $l_{2}$ 交于A点，点A在椭圆上，且 $∠ F_{1} A F_{2} = 90 °$ .则椭圆C的离心率 $e =$ .

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16. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，右焦点为 $F_{2}$ ，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点.若 $| P O | = | P F_{2} |$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为.

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四、解答题

17. 已知直线 $l_{1}$ ： $(a + 1) x + 3 y - 1 = 0$ ，直线 $l_{2}$ ： $2 x + a y + 1 = 0$ .

(1)、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求实数a的值；

(2)、直线 $l_{1}$ 与坐标轴正半轴围成的三角形面积为 $\frac{1}{9}$ ，求直线 $l_{1}$ 的斜率.

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18. 已知圆C的圆心在直线 $2 x - y = 0$ 上，且与y轴相切于点 $(0 ， 2)$ .

(1)、求圆C的方程

(2)、若圆C与直线l： $x - y + m = 0$ 交于A，B两点， $∠ A C B = 120 °$ ，求m的值.

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19. 已知平面上两点 $F (- 4 ， 0)$ ， $F^{'} (4 ， 0)$ ， $△ P F F^{'}$ 的周长为18.

(1)、求动点P的轨迹方程；

(2)、当动点P满足 $∠ F P F^{'} = 90 °$ 时，求点P的纵坐标.

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20. 抛物线C： $x^{2} = 2 p y$ ，抛物线C的准线方程为 $y = - 1$ ，焦点为F.

(1)、求实数 $p$ 的值；

(2)、直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，求证：A，B两点的纵坐标乘积为定值

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21. 双曲线C： $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右焦点为 $F_{2}$ ，直线l过点 $F_{2}$ 且与双曲线C交于A，B两点，直线l的倾斜角为30°，O为坐标原点.

(1)、求 $| A B |$ ；

(2)、求 $△ A O B$ 的面积.

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22. 设椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）过点 $(1 ， \frac{3}{2})$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，椭圆的右顶点为A.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若直线 $l$ 与椭圆交于两点M，N（M，N不同于点A），若 $\vec{A M} \cdot \vec{A N} = 0$ ，求证：直线l过定点，并求出定点坐标

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