江苏省南通市通州区2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $2 x + 3 y + 6 = 0$ 不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + 5 = 0$ ，则该圆的圆心坐标为（）

A、 $(- 3 ， 1)$ B、 $(- 3 ， - 1)$ C、 $(3 ， 1)$ D、 $(3 ， - 1)$

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3. 若直线 $l_{1}$ ： $a x + y - a - 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $x + a y - 2 a - 2 = 0$ 垂直，则实数 $a$ 的值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、±1

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4. 直线 $x - \sqrt{3} y + 2 \sqrt{3} = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 截得的弦长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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5. 已知双曲线 $C$ 的焦点为 $F_{1} (- \sqrt{5} ， 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{5} ， 0)$ ，点 $P$ 在双曲线 $C$ 上，满足 $P F_{1} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $P F_{1} = 4$ ，则双曲线 $C$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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6. 若点 $P$ ， $Q$ 分别在椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 和直线 $\sqrt{3} x + y - 2 \sqrt{7} = 0$ 上运动，则 $P Q$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$

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7. 设椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右顶点为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，左､右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上､下顶点为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，关于该椭圆，有下列四个命题：甲： $A_{1} F_{1} = 1$ ；乙： $A_{2} F_{1} = 4$ ；丙：离心率为 $\frac{1}{2}$ ；丁：四边形 $A_{1} B_{1} F_{2} B_{2}$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ .如果只有一个假命题，则该命题是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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8. 设椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为 $A$ ，左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，连接 $A F_{1}$ 并延长交椭圆 $C$ 于点 $P$ ，若 $| P A | = \frac{5}{4} | P F_{2} |$ ，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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二、多选题

9. 已知直线 $l$ ： $\sqrt{3} x - y + 1 = 0$ ，则（）

A、直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ B、直线 $l$ 与两坐标轴围成的三角形面积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、点 $(\sqrt{3} ， 0)$ 到直线 $l$ 的距离为2 D、直线 $l$ 关于 $y$ 轴对称的直线方程为 $\sqrt{3} x + y - 1 = 0$

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10. 设双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若点 $P (2 ， 1)$ 在双曲线 $C$ 上，则（）

A、双曲线 $C$ 的离心率为2 B、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm x$ C、 $| | P F_{1} | - | P F_{2} | | = 2 \sqrt{3}$ D、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 2$

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11. 已知点 $P$ 在直线 $l$ ： $x - y - 3 = 0$ 上，过点 $P$ 作圆 $M$ ： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 2$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ，则（）

A、存在点 $P$ ，使得四边形 $P A M B$ 为菱形 B、四边形 $P A M B$ 的面积最小值为 $2 \sqrt{3}$ C、 $△ P A B$ 的外接圆恒过两个定点 D、原点到直线 $A B$ 的距离不超过 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，经过点 $F$ 的直线与抛物线 $C$ 相交 $A$ ， $B$ 两点， $A$ ， $B$ 在 $l$ 上的射影分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $l$ 与 $x$ 轴相交于点 $M$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $A_{1} F ⊥ B_{1} F$ B、 $\vec{A M} \cdot \vec{B M} > 0$ C、若 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ ，则 $| \vec{A F} | = 3$ D、若 $\vec{A Q} = \vec{Q M}$ ， $| \vec{A M} | = 2 | \vec{B Q} |$ ，则 $| A F | - | B F | = 4$

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三、填空题

13. 写出一个关于直线 $x - y + 1 = 0$ 对称的圆的标准方程.

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14. 已知点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴上，线段 $A B$ 的中点 $M$ 的坐标为 $(2 ， - 1)$ ，则线段 $A B$ 的长度为.

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15. 已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差为 $1.5 m$ ，暴雨后的水面宽为 $2 m$ ，暴雨来临之前的水面宽为 $4 m$ ，则暴雨后的水面离拱顶的距离为 $m$ .

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} (- 2 ， 0)$ 、 $F_{2} (2 ， 0)$ ，若点 $P$ 在双曲线 $C$ 的渐近线上，且 $| P F_{1} | = \sqrt{2} | P F_{2} |$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积最大值为，实数 $a$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知椭圆的焦点为 $F_{1} (- 6 ， 0) ， F_{2} (6 ， 0)$ ，该椭圆经过点P（5，2）

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、若椭圆上的点 $M (x_{0} ， y_{0})$ 满足 $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ ，求y0的值.

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18. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (0 ， 1)$ ， $A B$ 边上的高 $C D$ 所在直线的方程为 $x + y - 2 = 0$ ， $A C$ 边上的中线 $B E$ 所在直线的方程为 $3 x + y - 5 = 0$ .

(1)、求点B的坐标；

(2)、求直线 $B C$ 的方程.

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知动点 $M$ 到点 $(1 ， 0)$ 的距离与到直线 $x = - 1$ 的距离相等.

(1)、求点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、设不经过原点的直线 $l$ 与点 $M$ 的轨迹相交于A，B两点，__________.
①若直线 $l$ 经过点 $(4 ， 0)$ ，则 $O A ⊥ O B$ ；②若 $O A ⊥ O B$ ，则直线 $l$ 经过定点 $(4 ， 0)$ .

在①②中任选一个补充在上面的横线上，并给出证明.

（注：如果选择两个命题分别证明，按第一个证明计分.）

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20. 已知圆 $C_{1}$ ： $(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ ，圆 $C_{2}$ ： $(x - m)^{2} + y^{2} = m^{2} (m > 0)$ .

(1)、若两圆相交，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、是否存在实数 $m$ ，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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21. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，右顶点为 $P$ ，点 $Q (0 ， b)$ ， $P F_{2} = 1$ ， $M (x ， y)$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 经过点 $F_{2}$ ，且与双曲线 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $△ F_{1} A B$ 的面积为 $6 \sqrt{10}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知双曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 与椭圆 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ， A，B分别为 $C_{1}$ 的左､右顶点，点 $P$ 在双曲线 $C_{1}$ 上，且位于第一象限.

(1)、直线 $O P$ 与椭圆 $C_{2}$ 相交于第一象限内的点 $M$ ，设直线 $P A$ ， $P B$ ， $M A$ ， $M B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ， $k_{4}$ ，求 $k_{1} + k_{2} + k_{3} + k_{4}$ 的值；

(2)、直线 $A P$ 与椭圆 $C_{2}$ 相交于点 $N$ （异于点A），求 $A P \cdot A N$ 的取值范围.

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