吉林省吉林市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $\vec{a} = (- 2 ， 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， t ， 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $t$ 的值为（）

A、0 B、-4 C、 $\frac{1}{2}$ D、4

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2. 经过点 $M (1 ， - 1)$ 且与直线 $x + 4 y + 2 = 0$ 垂直的直线方程为（）

A、 $x + 4 y + 3 = 0$ B、 $x - 4 y + 5 = 0$ C、 $4 x - y - 5 = 0$ D、 $4 x + y - 3 = 0$

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3. 直线 $(m^{2} + 1) x - y + 1 = 0$ 的倾斜角的取值范围是（）

A、 $[0 ， \frac{π}{4})$ B、 $[0 ， \frac{π}{2})$ C、 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}) \cup [\frac{π}{2} ， π)$ D、 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$

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4. 过点 $(1 ， \frac{3}{2})$ 且与椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 有相同焦点的椭圆方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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5. 直线 $x + m y + m = 0$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9$ 的位置关系为（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、与 $m$ 的值有关

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6. 如图，在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上，点 $N$ 在 $B C$ 上，且 $O M = 2 M A$ ， $B N = 2 N C$ ，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$

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7. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 4$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，圆 $C_{2} ： {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = a$ ，若圆 $C_{2}$ 上存在点 $P$ 使得 $∠ A P B = 90 °$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[7 ， + \infty)$ B、 $[9 ， + \infty)$ C、 $[9 ， 49]$ D、 $[3 ， 7]$

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8. 已知点 $A$ ， $P$ ， $Q$ 为椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上不重合的三点，且点 $P$ ， $Q$ 关于原点对称，若 $k_{A P} \cdot k_{A Q} = - \frac{1}{2}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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二、多选题

9. 已知两条不重合的直线 $l_{1} ： y = k_{1} x + b_{1}$ ， $l_{2} ： y = k_{2} x + b_{2}$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $k_{1} = k_{2}$ B、若 $k_{1} = k_{2}$ ，则 $l_{1} ∥ l_{2}$ C、若 $k_{1} k_{2} = 1$ ，则 $l_{1} ⊥ l_{2}$ D、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $k_{1} k_{2} = - 1$

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10. 过点 $(1 ， 4)$ 且与圆 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 相切的直线的方程为（）

A、 $x - 1 = 0$ B、 $y - 4 = 0$ C、 $3 x - 4 y + 13 = 0$ D、 $4 x - 3 y + 8 = 0$

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11. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = \frac{π}{4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 ${\vec{A A_{1}} ， \vec{B D_{1}} ， \vec{A B}}$ 不能构成空间的一个基底 B、 $| \vec{B D_{1}} | = \sqrt{2}$ C、 $B D ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ D、直线 $B D_{1}$ 与直线 $A A_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{4}$

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12. 椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆 $C ：$ $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ，其左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相切于点 $P$ ，且 $| P F_{1} | = 2$ ， $F_{1}$ 关于直线 $l$ 的对称点为 ${F_{1}}^{^{'}}$ ，过点 $P$ 且与直线 $l$ 垂直的直线 $l^{'}$ 与椭圆长轴交于点 $M$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{2}$ B、 ${F^{'}}_{1}$ ， $P$ ， $F_{2}$ 三点共线 C、 $∠ F_{1} P M = ∠ F_{2} P M$ D、 $| F_{1} M | ： | F_{2} M | = 1 ： 3$

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三、填空题

13. 直线 $x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 在 $y$ 轴上的截距为.

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14. 椭圆 $C ： x^{2} + \frac{y^{2}}{t} = 1$ （ $t > 0$ 且 $t \neq 1$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $t =$ .

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15. 在等边三角形 $A B C$ 中， $D$ 为 $A C$ 中点，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起至 $△ A^{'} B D$ ，使得 $∠ A^{'} D C = 120 °$ ，则直线 $B C$ 与平面 $A^{'} B D$ 所成角的正弦值为.

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16. 平面内两个定点 $A$ ， $B$ ，动点 $P$ 满足 $| P A | = λ | P B |$ ，当 $λ > 0$ 且 $λ \neq 1$ 时， $P$ 点的轨迹是圆，这个圆称作阿波罗尼斯圆（简称阿氏圆），且半径为 $| \frac{λ}{λ^{2} - 1} | | A B |$ .若 $| A B | = 4$ ，且 $| P A | = 3 | P B |$ ，则该圆的半径为；已知正方体 $A B C D - A_{1} B {}_{1}C C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $4$ ，动点 $P$ 满足 $| P A | = 3 | P B |$ ，则 $| \vec{P B} + \vec{A A_{1}} + \vec{P A_{1}} |$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知点 $A (- 2 ， 4)$ ，点 $B (0 ， - 2)$ 到直线 $l ： a x + y - 2 = 0$ 的距离相等.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $a < 0$ ，直线 $l^{'}$ 过点 $A$ 且与直线 $l$ 的夹角为 $4 5^{°}$ ，求直线 $l^{'}$ 的方程.

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18. 已知圆 $C_{1}$ 过原点和点 $A (10 ， 0)$ ，并且圆心在直线 $l ： x - 2 y + 5 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、判断直线 $l$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y - 40 = 0$ 的位置关系；如果相交，求直线 $l$ 被圆 $C_{2}$ 截得的弦长.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D = D A = 2$ ， $D C = 1$ ， $M$ 是 $B C$ 的中点，点 $Q$ 在 $P M$ 上，且 $P Q = 2 Q M$ .

(1)、证明： $D Q ⊥$ 平面 $P A M$ ；

(2)、求平面 $P A M$ 与平面 $P D C$ 的夹角的余弦值.

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20. 已知动圆与圆 $C_{1} ： {(x + 4)}^{2} + y^{2} = 1$ 外切，同时与圆 $C_{2} ： {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 81$ 内切.

(1)、求动圆圆心 $M$ 的轨迹 $Γ$ 的方程，并说明它是什么曲线；

(2)、若直线 $l ： 4 x - 5 y + 40 = 0$ ，求曲线 $Γ$ 上的点到直线 $l$ 的最大距离.

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21. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = B C = 2$ ， $B C ⊥$ $A B$ ， $M$ 为棱 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 为棱 $B B_{1}$ 上一动点.

(1)、试确定点 $P$ 位置，使得 $M P / /$ 平面 $A_{1} B C$ ；

(2)、求点 $C_{1}$ 到平面 $A_{1} P C$ 距离的最大值.

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22. 已知，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，长轴长为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 过点 $(2 ， 0)$ ，且被椭圆 $C$ 截得的弦长为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、设 $O$ 为坐标原点，若 $P$ ， $Q$ ， $M$ 为椭圆上的点，且圆 $M$ 与直线 $O P$ ， $O Q$ 相切，当直线 $O P$ ， $O Q$ 的斜率存在且 $k_{O P} \cdot k_{O Q} = - \frac{1}{3}$ ，求圆 $M$ 的半径.

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