湖南省怀化市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 以下四个命题中，真命题为（）

A、侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 B、底面是矩形的四棱柱是长方体 C、正三棱锥是正四面体 D、棱台的侧棱延长后必交于一点

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2. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A B} + \vec{A D} - \vec{C_{1} C} =$ （）

A、 $\vec{A C_{1}}$ B、 $\vec{A_{1} C}$ C、 $\vec{C_{1} B}$ D、 $\vec{D B_{1}}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 \sqrt{3} ， 0 ， 2)$ ，向量 $\vec{b} = (\frac{1}{2} ， 0 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\sqrt{3} ， 0 ， 3)$ B、 $(- \sqrt{3} ， 0 ， 1)$ C、 $(1 ， 0 ， \sqrt{3})$ D、 $(\frac{1}{4} ， 0 ， \frac{\sqrt{3}}{4})$

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4. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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5. 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 $2 π$ 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 $\frac{π}{3}$ ，所以正四面体在各顶点的曲率为 $2 π - 3 \times \frac{π}{3} = π$ ，故其总曲率为 $4 π$ ，则四棱锥的总曲率为（）

A、2π B、4π C、5π D、6π

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6. 用一个圆心角为 $120 °$ ，面积为 $3 π$ 的扇形 $O M N$ （ $O$ 为圆心）围成一个圆锥（点 $M ､ N$ 恰好重合），该圆锥顶点为 $P$ ，底面圆的直径为 $A B$ ，则 $t a n ∠ A P B$ 的值为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{5}$

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7. 直线 $y = x$ 和 $y = - x$ 上各有一点 $P ， Q$ （其中点 $P ， Q$ 的纵坐标分别为 $y_{P} ， y_{Q}$ 且满足 $y_{P} y_{Q} < 0$ ）， $△ O P Q$ 的面积为4，则 $P Q$ 的中点 $M$ 的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} = 4$ B、 $x^{2} - y^{2} = 4$ C、 $y^{2} - x^{2} = 4$ D、 $x^{2} + y^{2} = 8$

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8. 当 $m$ 变化时，不在直线 $(1 - m^{2}) x + 2 m y - 2 \sqrt{3} m - 2 = 0$ 上的点所成区域 $G ， P (x ， y)$ 是区域 $G$ 内的任意一点.则 $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{3}{2} y}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1]$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$ D、 $(2 ， 3)$

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二、多选题

9. 已知方程 $\frac{x^{2}}{4 - t} + \frac{y^{2}}{t - 1} = 1$ 表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（）

A、当 $1 < t < 4$ 时，曲线C是椭圆 B、当 $t > 4$ 或 $t < 1$ 时，曲线C是双曲线 C、若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 $1 < t < \frac{5}{2}$ D、若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 $t > 4$

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10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上有且仅有四个点到直线 $12 x - 5 y + c = 0$ 的距离为1，则实数 $c$ 的取值可能是（）

A、14 B、-14 C、12 D、-10

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11. 已知在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是一个等腰直角三角形，且 $A B = B C = B B_{1} ， E ､ F ､ G ､ M$ 分别为 $B_{1} C_{1} ， A_{1} B_{1} ， A B ， B C$ 的中点.则（）

A、 $G B_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 夹角余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ C、 $A_{1} M$ $∥$ 平面 $E F B$ D、平面 $A B_{1} C ⊥$ 平面 $A_{1} M C$

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12. 月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 $F (3 ， 0)$ ，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线 $y = t (t > 0)$ 与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（）

A、椭圆的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、点 $F$ 关于直线 $y = \frac{1}{2} x$ 的对称点在半圆上 C、 $△ A B F$ 面积的最大值是 $\frac{9}{4} (\sqrt{2} + 1)$ D、线段AB长度的取值范围是 $(0 ， 3 + 3 \sqrt{2})$

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三、填空题

13. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = \frac{4}{3} x$ ，且其右焦点为 $(5 ， 0)$ ，则双曲线 $C$ 的标准方程为.

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14. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱 $A A_{1} = 12$ .若侧面AA₁B₁B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A₁C₁ ， B₁C₁的中点.当底面ABC水平放置时，液面高为.

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15. 若直线l：ax－y＋2－a＝0与圆C：(x－3)²＋(y－1)²＝9相交于A，B两点，且∠ACB＝90°，则实数a的值为.

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16. 将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=2，则四面体ABCD的外接球的半径为，四面体ABCD的内切球与外接球的球心距为.

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四、解答题

17.

(1)、若直线 $l_{1}$ 过点 $P (- 1 ， 2)$ ，且与直线 $3 x - 4 y + 5 = 0$ 平行，求直线 $l_{1}$ 的斜截式方程；

(2)、若直线 $l_{2}$ 过点 $Q (1 ， - 2)$ ，且与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，求直线 $l_{2}$ 的方程.

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18. 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：

(1)、长轴是短轴的3倍且经过点 $A (3 ， 0)$ ；

(2)、短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 $\sqrt{3}$ ；

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19. 已知两圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y - 1 = 0$ 和 $x^{2} + y^{2} - 10 x - 12 y + m = 0$ .求：

(1)、m取何值时两圆外切？

(2)、当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

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20. 如图，已知以 $O$ 为圆心，2为半径的圆在平面 $α$ 上，若 $P O ⊥ α$ ，且 $P O = 4$ ， $O A$ 、 $O B$ 为圆 $O$ 的半径，且 $∠ A O B = 90 °$ ， $M$ 为线段 $A B$ 的中点．求：

(1)、异面直线 $O B$ ， $P M$ 所成角的余弦值；

(2)、点 $O$ 到平面 $P A B$ 的距离；

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D ， P A = A D = 2 ， B D = 4 ， A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B D$ 是 $∠ A D C$ 的平分线，且 $B D ⊥ B C$ .

(1)、若点 $E$ 为棱 $P C$ 的中点，证明： $B E$ $∥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、已知二面角 $P - A B - D$ 的大小为 $60^{\circ}$ ，求平面 $P B D$ 和平面 $P C D$ 的夹角的余弦值.

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22. 某学校在平面图为矩形的操场 $A B C D$ 内进行体操表演，其中 $| A B | = 40$ ， $| B C | = 15$ ， $O$ 为 $A B$ 上一点（不与端点重合），且 $| B O | = 10$ ，线段 $O C ， O D ， M N$ 为表演队列所在位置（ $M ， N$ 分别在线段 $O D ， O C$ 上）， $△ O C D$ 内的点 $P$ 为领队．位置，且点 $P$ 到 $O C$ 、 $O D$ 的距离分别为 $\sqrt{13}$ 、 $\sqrt{5}$ ，记 $| O M | = d$ ，我们知道当 $△ O M N$ 面积最小时观赏效果最好．

(1)、当 $d$ 为何值时， $P$ 为队列 $M N$ 的中点？

(2)、求观赏效果最好时 $△ O M N$ 的面积．

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