广东省广州市四校联考2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）.经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（）

A、511个 B、512个 C、1023个 D、1024个

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2. 直线 $l$ 的方向向量为 $(2 ， 3)$ ，直线 $m$ 过点 $(1 ， 1)$ 且与 $l$ 垂直，则直线 $m$ 的方程为（）

A、 $2 x + 3 y - 5 = 0$ B、 $2 x - 3 y + 1 = 0$ C、 $3 x + 2 y - 5 = 0$ D、 $3 x - 2 y - 1 = 0$

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3. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = 1 ， a_{3} + a_{4} = 8$ ，则 $S_{9}$ ＝（）

A、60 B、62 C、63 D、81

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4. 圆 $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y - 12 = 0$ 的公共弦长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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5. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，四点 $P_{1} (1 ， \frac{3}{2})$ ， $P_{2} (0 ， \sqrt{3})$ ， $P_{3} (- 1 ， \frac{\sqrt{10}}{2})$ ， $P_{4} (1 ， - \frac{\sqrt{10}}{2})$ 中恰有三点在椭圆 $C$ 上，则椭圆C的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

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6. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $D A$ ， $D B$ ， $D C$ 两两垂直，且 $D B = D C = 3$ ， $A D = 4$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B C}$ 等于（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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7. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为A，点P在C上且在第二象限，点P关于x轴，y轴的对称点分别为 $P^{'}$ ， Q，直线 $A P ， A Q$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，若 $t a n ∠ P^{'} A Q = \frac{4}{3} (k_{1} + k_{2})$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 已知 $P ， Q$ 是椭圆 $3 x^{2} + 6 y^{2} = 1$ 上满足 $∠ P O Q = 9 0^{∘}$ 的两个动点 $(O$ 为坐标原点），则 $\frac{1}{| O P |^{2}} + \frac{1}{| O Q |^{2}}$ 等于（）

A、45 B、9 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{45}{324}$

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二、多选题

9. 对于曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9 - k} + \frac{y^{2}}{k - 3} = 1$ ，下列说法正确的是（）

A、曲线 $C$ 不可能是圆 B、“ $3 < k < 9$ ”是“曲线 $C$ 是椭圆”的充分不必要条件 C、“曲线 $C$ 是焦点在 $y$ 轴上的椭圆”是“ $6 < k < 7$ ”的必要不充分条件 D、“曲线 $C$ 是焦点在 $x$ 轴上的椭圆”是“ $3 < k < 6$ ”的充要条件

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10. 已知圆M： $x^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ ，以下四个命题表述正确的是（）

A、若圆 $x^{2} + y^{2} - 8 x - 10 y + m = 0$ 与圆M恰有一条公切线，则m=-8 B、圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 3 = 0$ 与圆M的公共弦所在直线为 $x + 2 y - 3 = 0$ C、直线 $(2 m + 1) x + y - m - 2 = 0$ 与圆M恒有两个公共点 D、点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，若Q $(\frac{\sqrt{15}}{4} ， 0)$ ，则CQ的最大值为 $\frac{9}{4}$

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11. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 285$ ， $n a_{n} = (n - 1) a_{n + 1} + 101 (n \in N^{*})$ ，则以下结论正确的为（）．

A、数列 ${a_{n}}$ 为等差数列 B、 $a_{1} = 99$ C、当 $S_{n}$ 取最大值时，n的值为51 D、当数列 ${a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2}} (n \in N^{*})$ 的前n项和取得最大值时，n的值为49或51

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12. 一般地，若 $\vec{A P} = λ \vec{P B}$ ， $\vec{A Q} = - λ \vec{Q B}$ （ $λ > 0$ ，且 $λ \neq 1$ ），则称 $A$ ， $B$ ， $P$ ， $Q$ 四点构成调和点列.已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，过点 $D (1 ， 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点.动点 $E$ 满足 $M$ ， $N$ ， $D$ ， $E$ 四点构成调和点列，则下列结论正确的是（）

A、 $M$ ， $N$ ， $D$ ， $E$ 四点共线 B、 $\frac{1}{| M E |} + \frac{1}{| N E |} = \frac{2}{| D E |}$ C、动点 $E$ 的轨迹方程为 $2 x + 3 y - 6 = 0$ D、 $| D E |$ 既有最小值又有最大值

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (1 ， 3 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1 ， 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向的投影向量的坐标为．

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14. 已知圆（x+1）²+y²=1和圆外一点P（0，2），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是．

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15. 已知两个等差数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{7 n - 3}{n + 1}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}} =$ .

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16. “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上．称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔 $\cdot$ 蒙日（1746-1818）最先发现．若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上一动点，过 $P$ 和原点作直线 $l$ 与椭圆 $C$ 的蒙日圆相交于 $M ， N$ ，则 $\frac{| P M | \cdot | P N |}{| P F_{1} | \cdot | P F_{2} |} =$ ．

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四、解答题

17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $P A = A B = B C = 2$ ， $A D = 1$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为棱 $P B$ ， $D C$ 的中点.

(1)、求证： $A M / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $M N$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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18. 已知椭圆的中心在原点，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，一个焦点是 $F (- m ， 0)$ （m是大于0的常数）．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M．若 $| \vec{M Q} | = 2 | \vec{Q F} |$ ，求直线l的斜率．

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19. 如图，已知圆 $M ： x^{2} - 4 x + y^{2} + 3 = 0$ ，点 $P (- 1 ， t)$ 为直线 $l ： x = - 1$ 上一动点，过点 $P$ 引圆 $M$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$

(1)、求直线 $A B$ 的方程，并写出直线 $A B$ 所经过的定点的坐标；

(2)、求线段 $A B$ 中点的轨迹方程；

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20. 数列 ${a_{n}}$ 中，满足 $s_{n} + 2 = 2 a_{n}$ ， $n \in N^{*}$

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ．

(2)、若数列 ${b {}_{n}}$ 满足 $b {}_{n}= 2 l o g_{2} a_{n} - 1$ ，且
$T_{n}$ = $\frac{1}{b_{1} b_{2}} + \frac{1}{b_{2} b_{3}} + \frac{1}{b_{3} b_{4}} + ⋯ ⋯ + \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，求 $T_{n}$ 大小

(3)、令 $C_{n} = \frac{1 - {(- 1)}^{n}}{2} \cdot \frac{1}{a_{n}}$ ，证明 $c_{1} + c_{2} + c_{3} + c_{4} + ⋯ ⋯ + c_{2 n - 1} < \frac{2}{3}$ 成立.

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21. 在多面体 $A B C D E F$ 中，平面 $A B C D$ 为正方形， $A B = 2$ ， $A E = 3$ ， $D E = \sqrt{5}$ ，二面角 $E - A D - C$ 的平面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，且 $E F / / B D$ .

(1)、证明：平面 $A B C D ⊥$ 平面 $D C E$ ；

(2)、若 $\vec{E F} = λ \vec{D B} (λ > 0)$ ，求平面 $A B F$ 与平面 $C E F$ 所成锐二面角的余弦值的取值范围.

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22. 如图，中心在原点 $O$ 的椭圆 $Γ$ 的右焦点为 $F (2 \sqrt{3} ， 0)$ ，长轴长为 $8$ ．椭圆 $Γ$ 上有两点 $P$ 、 $Q$ ，连接 $O P$ 、 $O Q$ ，记它们的斜率为 $k_{O P}$ 、 $k_{O Q}$ ，且满足 $k_{O P} \cdot k_{O Q} = - \frac{1}{4}$ ．

(1)、求椭圆 $Γ$ 的标准方程；

(2)、求证： ${| O P |}^{2} + {| O Q |}^{2}$ 为一定值，并求出这个定值；

(3)、设直线 $O Q$ 与椭圆 $Γ$ 的另一个交点为 $R$ ，直线 $R P$ 和 $P Q$ 分别与直线 $x = 4 \sqrt{3}$ 交于点 $M$ 、 $N$ ，若 $△ P Q R$ 和 $△ P M N$ 的面积相等，求点 $P$ 的横坐标．

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