福建省福州市八县（市）协作校2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知空间向量 $\vec{a} = (m + 1 ， m ， - 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 1 ， 4)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $- \frac{10}{3}$ B、-10 C、10 D、 $\frac{10}{3}$

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2. 直线 $l ： x + \sqrt{3} y - 3 = 0$ 的倾斜角 $α$ 为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3. 若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长是焦距的2倍，则C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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4. 两平行直线 $3 x - 2 y - 1 = 0$ 和 $6 x - 4 y + 3 = 0$ 间的距离是（）

A、 $\frac{5 \sqrt{13}}{26}$ B、 $\frac{4 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ D、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$

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5. 过点 $A (3 ， 1)$ 的圆 $C$ 与直线 $x - y = 0$ 相切于点 $B (1 ， 1)$ ，则圆 $C$ 的方程为（）

A、 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 2$ B、 $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ C、 $(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 9$ D、 $(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 8$

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6. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 4 ， - 2)$ ， $\vec{c} = (7 ， 5 ， λ)$ ，若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面，则实数 $λ =$ （）

A、 $\frac{62}{7}$ B、 $\frac{64}{7}$ C、 $\frac{60}{7}$ D、 $\frac{65}{7}$

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7. 二面角 $α - l - β$ 中， $A B \subset α$ ， $A B ⊥ l$ ， $C D \subset β$ ， $C D ⊥ l$ ，且B、C为垂足， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $C D = 3$ ， $A D = \sqrt{17}$ ，则二面角 $α - l - β$ 大小为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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8. 已知曲线 $C ： y = - \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$ 与直线 $l ： m x + y - 4 m - 2 = 0 (m \in R)$ 总有公共点，则m的取值范围是（）

A、 $[\frac{2}{5} ， \frac{12}{5}]$ B、 $[\frac{2}{5} ， 2]$ C、 $[- 2 ， - \frac{2}{5}]$ D、 $[- \frac{12}{5} ， - \frac{2}{5}]$

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二、多选题

9. 给出下列命题，其中正确的命题是（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ B、若向量 $\vec{a}$ 是向量 $\vec{b}$ 的相反向量，则 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ C、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A C} = \vec{A_{1} C_{1}}$ D、若空间向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ ， $\vec{p}$ 满足 $\vec{m} = \vec{n}$ ， $\vec{n} = \vec{p}$ ，则 $\vec{m} = \vec{p}$

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10. 点 $M (1 ， 1)$ 为圆 $x^{2} + y^{2} - x + y - 2 m = 0$ 外一个点，则实数m不可取的值有（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、0 C、1 D、2

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11. 瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (2 ， 0)$ 、 $B (0 ， 4)$ ，其欧拉线方程为 $x + y - 2 = 0$ ，则顶点 $C$ 的坐标不可以是（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{2}{3} ， - \frac{2}{3})$

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12. 已知 $M (x_{1} ， 2 \sqrt{2} - x_{1}) ， N (x_{2} ， \sqrt{1 - 8 x_{2}^{2}})$ ，令 $S = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(x_{1} + \sqrt{1 - 8 x_{2}^{2}} - 2 \sqrt{2})}^{2}}$ ，则S取到的值可以有（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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三、填空题

13. 若 $\vec{a} = (2 ， 3 ， 5) ， \vec{b} = (3 ， 1 ， - 4)$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$

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14. 直线 $l$ 过点 $A (- 1 ， 2) ， B (- 1 ， π)$ ，则直线 $l$ 的方程为．

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15. 已知空间向量 $\vec{a} = (- 2 ， 3 ， - 5)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在坐标平面 $y O z$ 上的投影向量为．

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16. 如图，两条异面直线a，b所成的角为 $θ$ ，在直线a，b上分别取点 $A^{'} ， E$ 和点A，F，使 $A A^{'} ⊥ a$ ，且 $A A^{'} ⊥ b$ （ $A A^{'}$ 称为异面直线a，b的公垂线）．已知 $A^{'} E = m$ ， $A F = n$ ， $E F = l$ ，则公垂线 $A A^{'} =$ ．

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四、解答题

17. 若直线 $l$ 的方程为 $a x + 2 y - a - 2 = 0 (a \in R)$ .

(1)、若直线 $l$ 与直线 $m : 2 x - y = 0$ 垂直，求 $a$ 的值；

(2)、若直线 $l$ 在两轴上的截距相等，求该直线的方程.

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18. 已知以点 $A (- 1 ， 2)$ 为圆心的圆与____，过点 $B (- 2 ， 0)$ 的动直线l与圆A相交于M，N两点.从①直线 $x + 2 y + 7 = 0$ 相切；②圆 $(x - 3)^{2} + y^{2} = 20$ 关于直线 $2 x - y - 1 = 0$ 对称；③圆 $(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$ 的公切线长 $\sqrt{11}$ 这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题.

(1)、求圆A的方程；

(2)、当 $| M N | = 2 \sqrt{19}$ 时，求直线l的方程.

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19. 如图，M、N分别是四面体OABC的棱OA、BC的中点，P、Q是MN的三等分点（点P靠近点N），若 $\vec{A O} = \vec{a} ， \vec{A B} = \vec{b} ， \vec{A C} = \vec{c}$ ，解答下列问题：

(1)、以 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 为基底表示 $\vec{O P}$ ；

(2)、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{c} | = 1$ ， $∠ O A B = ∠ O A C = \frac{π}{2}$ ， $∠ C A B = \frac{2 π}{3}$ ，求 $| \vec{O P} |$ 的值．

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20. 在平面直角坐标系中， $C_{1} (0 ， - \sqrt{2})$ ，圆 $C_{2} ： x^{2} + {(y - \sqrt{2})}^{2} = 12$ ，动圆 $P$ 过 $C_{1}$ 且与圆 $C_{2}$ 相切.

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 过点 $(0 ， 1)$ ，且与曲线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ ，已知 $A B$ 的中点在直线 $x = - \frac{1}{4}$ 上，求直线 $l$ 的方程.

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21. 如图，已知向量 $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ，可构成空间向量的一个基底，若 $\vec{a} = (a_{1} ， a_{2} ， a_{3})$ ， $\vec{b} = (b_{1} ， b_{2} ， b_{3})$ ， $\vec{c} = (c_{1} ， c_{2} ， c_{3})$ ．在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算 $\vec{a} \times \vec{b} = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} ， a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} ， a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$ ，显然 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的结果仍为一向量，记作 $\vec{p}$

(1)、求证：向量 $\vec{p}$ 为平面OAB的法向量；

(2)、若 $\vec{a} = (1 ， - 1 ， \sqrt{7})$ ， $\vec{b} = (0 ， - 3 ， 0)$ ，求以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与 $| \vec{a} \times \vec{b} |$ 的大小；

(3)、将四边形OADB按向量 $\vec{O C} = \vec{c}$ 平移，得到一个平行六面体 $O A D B - C A_{1} D_{1} B_{1}$ ，试判断平行六面体的体积V与 $| (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} |$ 的大小．（注：第（2）小题的结论可以直接应用）

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，PA $⊥$ 面ABCD，AB $∥$ CD，且CD=2，AB=1，BC= $2 \sqrt{2}$ ， PA=1，AB $⊥$ BC，N为PD的中点．

(1)、求证：AN $∥$ 平面PBC；

(2)、在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是 $\frac{1}{3}$ ？若存在，求出 $\frac{D M}{D P}$ 的值，若不存在，说明理由；

(3)、在平面PBC内是否存在点H，满足 $\vec{H D} \cdot \vec{H A} = 0$ ，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状（不必证明）．

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