安徽省宣城六校2022-2023学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知命题p： $\forall x > 1$ ， $2 x^{2} - 3 = 0$ ，则命题p的否定是（）

A、 $\exists x > 1$ ， $2 x^{2} - 3 = 0$ B、 $\exists x > 1$ ， $2 x^{2} - 3 \neq 0$ C、 $\forall x > 1$ ， $2 x^{2} - 3 \neq 0$ D、 $\forall x \leq 1$ ， $2 x^{2} - 3 \neq 0$

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2. 已知集合 $M = {x \in N^{*} | x \leq 2}$ ，则以下关系正确的是（）

A、 $0 \in M$ B、 $2 \notin M$ C、 ${0 ， 1 ， 2} \subseteq M$ D、 $M ⊊ {0 ， 1 ， 2}$

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3. 函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 2 x} + \frac{1}{x - 2}$ 的定义域是（）

A、 $(0 ， 2]$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0] ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $R$

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4. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(2 ， 8)$ ，则 $f (3)$ 的值为（　　）

A、3 B、9 C、27 D、 $\frac{1}{3}$

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5. 对于任意实数 $a ， b ， c ， d$ ，以下四个命题中的真命题是（）

A、若 $a > b$ ， $c \neq 0$ ，则 $a c > b c$ B、若 $a > b > 0$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$

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6. 函数 $y = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知某商品的进货成本为10（元/件），经过长时间调研，发现售价x（元）与月销售量y（件）满足函数关系式 $y = \frac{16000}{x^{2}} + \frac{800}{x}$ ．为了获得最大利润，商品售价应为（）

A、80元 B、60元 C、50元 D、40元

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8. 若正数 $a ， b$ 满足 $a + b = a b$ ，则 $a + 2 b$ 的最小值为（）

A、6 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $2 + 2 \sqrt{2}$

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9. 已知 $f$ ： $x \to | x |$ 是集合 $A$ 到集合 $B$ 的函数，如果集合 $B = {2}$ ，那么集合 $A$ 可能为（）

A、 ${- 1 ， 2}$ B、{-2} C、 ${- 2 ， 2}$ D、{2}

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二、多选题

10. 下列式子中，可以是 $x^{2} < 1$ 的必要条件的有（）

A、 $x < 1$ B、 $0 < x < 1$ C、 $- 1 < x < 0$ D、 $x > - 1$

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11. 若不等式 $a x^{2} + a x - 4 < 0$ 的解集为R，则实数a的取值可以是（）

A、-10 B、-8 C、0 D、2

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12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1, x 为有理数 \\ 0 ， x 为无理数 \end{array}$ 成为狄利克雷函数，则关于 $f (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x) \geq 0$ B、 $f (f (x)) = 1$ C、函数 $f (x)$ 是偶函数 D、 $f (x) - x^{3} = 0$ 有2个实数根

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三、填空题

13. 若 $a \in R$ ，集合A={1，a，a+2}，B={1，3，5}，且A=B，则a=.

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14. 若直角三角形斜边长等于 $10$ cm，则直角三角形面积的最大值为.

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{2 + 2 x}$ ，则 $f (\frac{1}{2022}) + f (\frac{1}{2021}) + \cdot \cdot \cdot + f (\frac{1}{2}) + f (1) + f (2) + \cdot \cdot \cdot + f (2021) + f (2022) =$ .

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四、解答题

16. 已知命题p： $\forall x \in {x | 1 \leq x \leq 2}$ ， $a \geq 1 + x$ ， q： $\exists x \in R ， 2 x^{2} + 5 x + a = 0$ ，若p的否定是假命题，且q是真命题，求实数a的取值范围．

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17. 设集合 $A = {x \in Z | - 5 \leq x \leq 5}$ ， $B = {1 ， 2 ， 3}$ ， $C = {3 ， 4 ， 5}$ .

(1)、求 $A ∩ (B ∪ C)$ ；

(2)、求 $A ∪ ∁_{A} (B ∩ C)$ .

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{x - m}{n x^{2} + 1}$ 是定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的奇函数，且 $f (1) = \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $m ， n$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上的单调性，并用定义证明；

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19. 已知函数 $f (x) = (m^{2} + 3 m - 3) x^{m}$ 为幂函数，且在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减.

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、请画出函数 $f (x)$ 的草图.

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20. 迎进博，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为 $60000 {cm}^{2}$ ，四周空白的宽度为 $10 cm$ ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为 $5 cm$ ，怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值；

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21. 已知集合 $A = {x | - x^{2} + m x + n > 0} = (- 1 ， 3)$ ，集合 $B = {x | x^{2} - a x - 2 a^{2} < 0}$ ．

(1)、求常数m、n的值；

(2)、设 $p ： x \in A ， q ： x \in B$ ，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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22. 已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) - f (x) = 2 x$ ，且 $f (0) = 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- 1 ， 1]$ 时，不等式 $f (x) > 2 x + m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、设 $g (t) = f (2 t - a)$ ， $t \in [- 1 ， 1]$ ，求 $g (t)$ 的最大值.

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