浙江省宁波金兰教育合作组织2022-2023学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {2022 ， 2023}$ ，则 $M$ 的子集有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{5 - x}} + {(x + 1)}^{0}$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty ， 5) ∪ (5 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1) ∪ (- 1 ， 5)$ C、 $(- \infty ， 5)$ D、 $(- 1 ， 5)$

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3. 下列各图中，不可能是函数图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 设 $x \in R$ ，则“ $x \leq 3$ ”是“ $- 1 \leq x - 1 \leq 1$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 $θ_{1} ℃$ ，空气的温度是 $θ_{0} ℃$ ，那么t分钟后物体的温度 $θ ℃$ 可由公式 $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ 求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有一个 $60 ℃$ 的物体，放在 $10 ℃$ 的空气中冷却，2分钟后物体的温度是 $50 ℃$ ，那么4分钟后该物体的温度是（）

A、 $42 ℃$ B、 $45 ℃$ C、 $46 ℃$ D、 $47 ℃$

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6. 16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若 $a = {(\frac{1}{3})}^{\frac{2}{3}} ， b = {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{3}} ， c = {(\frac{1}{2})}^{- \frac{1}{2}}$ ，则a，b、c的大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $a > b > c$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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7. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
每户每月用水量
水价
不超过 $12 m^{3}$ 的部分
3元 $/ m^{3}$
超过 $12 m^{3}$ 但不超过 $18 m^{3}$ 的部分
6元 $/ m^{3}$
超过 $18 m^{3}$ 的部分
9元 $/ m^{3}$
若某户居民本月缴纳的水费为99元，则此户居民本月的用水量为（）

A、 $21 m^{3}$ B、 $20 m^{3}$ C、 $19 m^{3}$ D、 $18 m^{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 \sqrt{x} + 2 ， x \geq 0 \\ a x + b ， x < 0 \end{array}$ 满足条件：对于任意的 $x_{1} \neq 0$ ，存在唯一的 $x_{2} \in R ， x_{2} \neq x_{1}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，当 $f (3 a) = f (2 b)$ 成立时，则实数 $2 a + 3 b$ 的值为（）

A、 $- 6 - 2 \sqrt{2}$ B、 $- 6 + 2 \sqrt{2}$ C、 $6 - 2 \sqrt{2}$ D、 $6 + 2 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 在其定义域内是减函数 B、命题“ $\exists x \in R$ ， $e^{x} + 2 x > 1$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $e^{x} + 2 x \leq 1$ ” C、函数 $f (x) = x$ 与 $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ 是同一个函数 D、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为任意的实数，若 $a + c > b + c$ ，则 $a > b$

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10. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，当 $x \leq 0$ 时 $f (x) = - x^{2} - 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为1 B、 $f (x)$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上单调递减 C、 $f (x) \geq 0$ 的解集为 $[- 2 ， 2]$ D、当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$

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11. 设正实数x，y，满足 $x + 2 y = 2$ ，则（）

A、 $y \in (0 ， 1)$ B、 $x y$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ C、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为 $\frac{4}{5}$ D、 $2^{x} + 4^{y}$ 的最小值为4

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12. 把定义域为 $[0 ， + \infty)$ 且同时满足以下两个条件的函数 $f (x)$ 称为“类增函数”：（1）对任意的 $x \in [0 ， + \infty)$ ，总有 $f (x) \geq 0$ ；（2）若 $x \geq 0 ， y \geq 0$ ，则有 $f (x + y) \geq f (x) + f (y)$ 成立.下列说法错误的是（）

A、若 $f (x)$ 为“类增函数”，则 $f (0) = 0$ B、若 $f (x)$ 为“类增函数”，则 $f (x)$ 不一定是增函数 C、函数 $g (x) = {\begin{array}{l} 0 ， x \in Q \\ 1 ， x \notin Q \end{array}$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上是“类增函数” D、函数 $g (x) = [x]$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上不是“类增函数”（ $[x]$ 表示不大于x的最大整数）

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三、填空题

13. 已知幂函数 $f (x) = x^{α} (α \in {- 2 ， - 1 ， \frac{1}{2} ， 1 ， 3})$ 为奇函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则 $f (- \frac{1}{2}) =$ .

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14. 若“ $\exists x \in (0 ， + ∞) ， λ x > 2 x^{2} + 1$ ”是假命题，则实数 $λ$ 的取值范围是.

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15. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + (b - 1) x + c (a \neq 0)$ 的图象关于y轴对称，且关于x的方程 $f (x) = x$ 有两个相等的实根，写出满足上述条件的一个函数 $f (x) =$ .

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16. 某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值 $x \in [100 ， 500]$ （单位：万元）的小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金y（单位：万元）随企业年产值x的增加而增加，且奖金不低于8万元，同时奖金不超过企业年产值的12%.若函数 $y = \frac{m x - 10}{x + 2}$ ，则实数 $m$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 化简下列各式：

(1)、； $\sqrt{{(π - 4)}^{2}} + 2 \sqrt{3} \times 3 \sqrt[3]{1.5} \times \sqrt[6]{12}$ ；

(2)、若 $1 0^{x} = 3 ， 1 0^{y} = 5$ .求 $1 0^{\frac{x - 3 y}{2}}$ .

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18. 设全集为 $R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - 7 x - 8 > 0} ， B = {x | a + 1 < x < 2 a - 3}$ .

(1)、若 $a = 6$ ，求 $A \cap ∁_{R} B$ ；

(2)、在① $A \cup B = A$ ；② $A ∩ B = B$ ；③ $(∁_{R} A) ∩ B = \emptyset$ ，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 设函数 $f (x) = a x^{2} + (2 b - 3) x + 4 (a \neq 0)$ .

(1)、若不等式 $f (x) > 0$ 的解集 $(- 1 ， 2)$ ，求 $a + b$ 的值；

(2)、当 $a = - 1$ 时，设 $g (x) = {\begin{array}{l} f (x) - 4 ， x \leq 1 \\ (5 - b) x + 4 ， x > 1 \end{array}$ ，满足是对任意 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，求实数b的取值范围.

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20. 自2020新冠疫情爆发以来，直播电商迅猛发展，以信息流为代表的各大社交平台也相继入场，平台用短视频和直播的形式，激发起用户情感与场景的共鸣，让用户在大脑中不知不觉间自我说服，然后引起消费行动.某厂家往年不与直播平台合作时，每年都举行多次大型线下促销活动，经测算，只进行线下促销活动时总促销费用为20万元.为响应当地政府防疫政策，决定采用线上（直播促销）线下同时进行的促销模式，与某直播平台达成一个为期4年的合作协议，直播费用（单位：万元）只与4年的总直播时长x（单位：小时）成正比，比例系数为0.1.已知与直播平台合作后该厂家每年所需的线下促销费C（单位：万元）与总直播时长x（单位：小时）之间的关系为 $C = \frac{k}{x + 50}$ （ $x \geq 0$ ， k为常数）.记该厂家线上促销费用与4年线下促销费用之和为y（单位：万元）.

(1)、写出y关于x的函数关系式；

(2)、该厂家直播时长x为多少时，可使y最小？并求出y的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{3^{x} + m}{3^{x} - 1}$ .若 $f (x)$ 为奇函数.

(1)、求实数m的值；

(2)、判断函数 $y = f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性，并给予证明；

(3)、若 $\exists x \in R ， | f (x) | < 2 t - 1$ 成立，求实数t的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 | x - a |$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (- 2023) - f (2023)$ 的值；

(2)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) < 3$ 的解集；

(3)、当 $a > 0$ 时，若对任意的 $x \in [0 ， + \infty)$ ，不等式 $f (x - 1) \leq 2 f (x) + 1$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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每户每月用水量	水价
不超过 $12 m^{3}$ 的部分	3元 $/ m^{3}$
超过 $12 m^{3}$ 但不超过 $18 m^{3}$ 的部分	6元 $/ m^{3}$
超过 $18 m^{3}$ 的部分	9元 $/ m^{3}$