浙江省杭州市S9联盟2022-2023学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列表述正确的是（）

A、 $- 3 \in Z$ B、 $π \notin R$ C、 $\sqrt{5} \in Q$ D、 $- 1 \in N$

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2. 下列图象中，以 $M = {x | 0 \leq x \leq 1}$ 为定义域， $N = {x | 0 \leq x \leq 1}$ 为值域的函数是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列命题中，正确的是（）

A、若 $a c < b c$ ，则 $a < b$ B、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a c > b d$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ D、若 $a < b ， c < d$ ，则 $a - c < b - d$

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4. 函数 $y = \frac{4 x^{2} + 2}{x} (x > 0)$ 取得最小值时x的取值为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、4 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 在 $R$ 上定义运算“ $\otimes$ ”： $a \otimes b = a b + 2 b < 0$ ，则满足 $x \otimes (x - 3) < 0$ 的实数 $x$ 的取值范围为（）

A、 ${x | 2 < x < 3}$ B、 ${x | x < 2$ 或 $x > 3}$ C、 ${x | x < - 2$ 或 $x > 3}$ D、 ${x | - 2 < x < 3}$

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{3}{2 x - 1} (x \in [2 ， 8])$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是单调递增函数 B、 $f (x)$ 是偶函数 C、函数 $f (x)$ 的最小值为 $f (8)$ D、 $f (2) < f (4) < f (6)$

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7. 若函数 $f (x)$ 是奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{3} + x^{2} + 1$ ，则当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = - x^{3} - x^{2} - 1$ B、 $f (x) = - x^{3} + x^{2} + 1$ C、 $f (x) = x^{3} - x^{2} + 1$ D、 $f (x) = x^{3} - x^{2} - 1$

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8. 某位同学经常会和爸爸妈妈一起去加油，经过观察他发现了一个有趣的现象：爸爸和妈妈的加油习惯是不同的.爸爸每次加油都说：“师傅，给我加250元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”.这位同学若有所思，如果爸爸､妈妈都加油两次，两次的加油价格不同，妈妈每次加满油箱；爸爸每次加250元的油，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（）

A、妈妈 B、爸爸 C、一样 D、不确定

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二、多选题

9. 若集合 $M = {x | x^{2} + 6 x - 16 = 0}$ ， $N = {x | a x - 3 = 0}$ ，且 $N \subseteq M$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{8}$ B、 $0$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 若幂函数 $f (x) = (n^{2} + n - 11) x^{- 1 - n}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，则（）

A、 $n = 3$ B、 $f (- 1) = 1$ C、 $n = - 4$ D、 $f (- 1) = - 1$

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11. 下列命题正确的是（）

A、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充分条件 B、命题“ $\exists x_{0} < 1 ， {x_{0}}^{2} \geq 1$ ”的否定是“ $\forall x < 1 ， x^{2} < 1$ ” C、设 $x ， y \in R$ ，则“ $x \geq 2$ 且 $y \geq 2$ ”是“ $x^{2} + y^{2} \geq 4$ ”的必要而不充分条件 D、设 $a ， b \in R$ ，则“ $a b \neq 0$ ”是“ $a \neq 0$ ”的必要而不充分条件

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12. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x < 0$ 时， $f (x) > 0$ ，则 $f (x)$ 满足（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $y = f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 在 $[m ， n]$ 上有最大值 $f (n)$ D、 $f (x - 1) > 0$ 的解集为 $(- ∞ ， 1)$

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三、填空题

13. 设 $P = (a - 2) (a + 4)$ ， $Q = 2 a (a - 1)$ ，则有 $P$ $Q$ .（请填“<”、“=”、“>”）

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14. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x ， x \leq 2 \\ \frac{3 x - 3}{2} ， x > 2 \end{array}$ ，若 $f (x_{0}) = 15$ ，则 $x_{0} =$ .

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15. 函数 $f (x) = x + \sqrt{3 - x}$ 的值域是.

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16. 对于任意的实数 $x_{1} ， x_{2} ， m i n {x_{1} ， x_{2}}$ 表示 $x_{1} ， x_{2}$ 中较小的那个数，若 $f (x) = 8 - x^{2}$ ， $g (x) = 2 x$ ，则 $m i n {f (x) ， g (x)}$ 的最大值是.

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四、解答题

17. 已知全集U=R，集合 $A = {x | - 3 < x \leq 2}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ， $C = {x | a < x < a + 2}$ ．

(1)、求集合B及 $A \cap B$ ．

(2)、若 $C \subseteq (A \cap B)$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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18.

(1)、解不等式 $\frac{2 x + 1}{1 - x} \leq 1$ ；

(2)、已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3$ ，则试求 $x + 2 y$ 的最小值

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x - 3}{x - 1}$ ．

(1)、用定义法证明： $f (x)$ 在 $[3 ， 6]$ 上单调；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[3 ， 6]$ 上的最大值与最小值．

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20. 某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为200吨，最多为500吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 200 x + 80000$ ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.则

(1)、该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低是多少？

(2)、每月需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - (a + 1) x + 1 (a > 0)$ ．

(1)、 $a = 2$ ，求 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、解关于x的不等式 $f (x) < 0 (a > 0)$ ．

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