云南省部分名校2022-2023学年高一上学期数学11月期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x < 1$ ， $x^{2} - x \leq 2$ ”的否定是（）

A、 $\forall x < 1$ ， $x^{2} - x > 2$ B、 $\exists x < 1$ ， $x^{2} - x > 2$ C、 $\exists x < 1$ ， $x^{2} - x \geq 2$ D、 $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} - x > 2$

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2. 若全集 $U = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5}$ ，集合A满足 $∁_{U} A = {0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A =$ （）

A、 ${- 1}$ B、 ${- 1 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 3 ， 5}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 5}$

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3. 若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0 ， 2]$ ，值域为 $[0 ， 2]$ ，则 $f (x)$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x + 7$ ，若 $f (- a) = 1$ ，则 $f (a) =$ （）

A、 $- 1$ B、6 C、8 D、13

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5. 定义：差集 $M - N = {x | x \in M$ 且 $x \notin N}$ ．现有两个集合 $A$ 、 $B$ ，则阴影部分表示的集合是（）

A、 $(A - B) ∪ B$ B、 $(B - A) ∩ B$ C、 $(A - B) ∩ (B - A)$ D、 $(A - B) \cup (B - A)$

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6. 若函数 $f (x^{3} - 1) = x^{2} - | x | + 2$ ，则 $f (7) =$ （）

A、44 B、8 C、4 D、2

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7. 函数 $f (x) = \frac{8 - x^{2}}{2 x^{3}}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. “ $0 < a \leq 2$ ”是“函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x - 2 ， x \leq 2 ， \\ x^{2} - 2 a x ， x > 2 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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二、多选题

9. 若 $a = 2 x^{2} - 8 x + 11 ， b = x^{2} - 6 x + 9 ， c = 1 - \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $b > a$ B、 $a > c$ C、 $a c > b c$ D、 $b > c$

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10. 下列函数中在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = 2 x^{2} + 1$ B、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = x + \frac{4}{x}$

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11. 在梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ，则“ $A B C D$ 是等腰梯形”的一个充分条件可以是（）

A、 $A D = B C$ B、 $A C = B D$ C、 $∠ A D C = ∠ B C D$ D、 $∠ A D C = ∠ D A C$

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12. 若奇函数 $f (x)$ 和偶函数 $g (x)$ 满足 $f (x) + g (x) = \frac{x^{3} + x + 1}{x^{2} + 1}$ ，则（）

A、 $f (x) = x$ B、 $g (x)$ 的值域为 $(0 ， 1]$ C、函数 $g (x - 1)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增 D、函数 $h (x) = [f (x + 1)]^{2} g (x)$ 的最大值与最小值之和为2

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{13 - x^{2}}}$ 的定义域为．

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14. 已知集合 $A = {(x ， y) | x ， y \in N_{+} ， y > x} ， B = {(x ， y) | x + y = 7}$ ，则 $A \cap B$ 的子集个数为．

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15. 请写出一个同时满足下列三个条件的函数： $f (x) =$ ．
（1） $f (0) = 3$ ；（2） $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增；（3） $y = f (x) - 7 x^{2}$ 为偶函数．

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16. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (x)$ 的图象是一条连续不断的曲线，若 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in [0 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $\frac{x_{1}^{3} f (x_{1}) - x_{2}^{3} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则不等式 $8 t^{3} f (2 t) - {(t - 1)}^{3} f (t - 1) > 0$ 的解集为．

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四、解答题

17. 已知不等式组 ${\begin{array}{l} - x < 2 ， \\ x^{2} + 7 x - 8 < 0 \end{array}$ 的解集为 $A$ ，集合 $B = {x | a - 5 < x < 3 a - 5}$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求 $a$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = a x + \frac{1}{a}$ 的图象经过第一、二、三象限．

(1)、求 $f (9)$ 的最小值；

(2)、若 $f (\frac{1}{a b}) = 1 (b > 0)$ ，证明： $a + 4 b \geq 9$ ．

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19. 已知幂函数 $f (x) = (9 m^{2} - 8 m) x^{- 2 m}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减.

(1)、求 $f (3)$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{a}{f (x)} + b x - 12$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (6 ， 0)$ 两点，求 $g (x)$ 在 $[1 ， 6]$ 上的值域.

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20. 为响应国家“乡村振兴”号召，小李决定返乡创业，承包老家的土地发展生态农业．小李承包的土地需要投入固定成本 $36$ 万元，且后续的其他成本总额 $y$ （单位：万元）与前 $x (x \in N_{+})$ 年的关系式近似满足 $y = a x^{2} + b x$ ．已知小李第一年的其他成本为 $3$ 万元，前两年的其他成本总额为 $8$ 万元，每年的总收入均为 $22$ 万元．

(1)、小李承包的土地到第几年开始盈利？

(2)、求小李承包的土地的年平均利润的最大值．

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21. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = \frac{2 - 3 x^{3}}{x^{3} - 1}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上的单调性，并用定义证明.

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22. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + 4 | x - a | + 2 a$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 的最大值为 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的最小值．

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