天津市八校2022-2023学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，集合 $A = {- 2 ， 2} ， B = {- 2 ， 1}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 0}$ C、 ${- 1 ， 0}$ D、 ${0}$

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2. 如果 $a ， b ， c ， d \in R$ ，则正确的是（）

A、若a>b，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若a>b，则 $a c^{2} > b c^{2}$ C、若a>b，c>d，则a+c>b+d D、若a>b，c>d，则ac>bd

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3. “ $x > 1$ ”是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 1$ ，则 $y = \frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值是

A、 $\frac{7}{2}$ B、4 C、9 D、5

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5. 已知偶函数 $f (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 单调递增，则满足 $f (2 x - 1) < f (\frac{1}{3})$ 的x取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ B、 $[\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ C、 $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$ D、 $[\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$

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6. 设 $a = 2^{0.1} ， b = (0.5)^{0.8} ， c = (0.5)^{0.5}$ ，则a，b，c的大小顺序为（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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7. 已知函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) \cdot x^{m^{2} - 2 m - 3}$ 是幂函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上递减，则实数m=（）

A、2 B、 $-$ 1 C、4 D、2或 $-$ 1

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8. 函数 $y = \sqrt{x^{2} - 5 x + 4}$ 的单调递增区间是（）

A、 $[\frac{5}{2}, + \infty)$ B、 $[4, + \infty)$ C、 $[\frac{5}{2}, 4)$ D、 $[1, \frac{5}{2})$ ， $[4, + \infty)$

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9. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $y = f (x)$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = | x - a | - a (a > 0)$ 若对于任意的实数 $x$ 有 $f (x - 2) \leq f (x)$ 成立，则正数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $(0 ， \frac{1}{2}]$

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二、填空题

10. 函数 $f (x) = \sqrt{2 - x} + (x + 1)^{0}$ 的定义域为．

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11. 当 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ 时，函数 $f (x) = a^{x + 1} + 1$ 的图象经过的定点坐标为.

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12. 求值： $4^{- \frac{1}{2}} - {(\frac{27}{8})}^{\frac{1}{3}} - {(π - 3)}^{0} =$ ．

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13. 若命题“ $\exists x \in R$ 使 $x^{2} + (a - 1) x + 1 < 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围为，

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14. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，则函数 $f (x)$ 在R上的解析式为．

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15. 对任意的实数x，记 $f (x) = m i n {2 - x^{2} ， x}$ ，则 $f (x)$ 的最大值是．

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三、解答题

16. 已知全集 $U = R$ ， $A = {x | x \leq a - 2$ 或 $x \geq a}$ ， $B = {x | x^{2} - 5 x < 0}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap B$ ， $A \cup B$ ， $(C_{U} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A ∩ B = B$ ，求实数a的取值范围.

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17. 设函数 $f (x) = \frac{a x + b}{1 + x^{2}}$ 是定义在 $(- 1 ， 1)$ 上的奇函数，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{5}$ ．

(1)、求a，b的值；

(2)、试判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义法证明．

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18. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x \leq 0 \\ 4 - 2 x ， x > 0 \end{array}$ ．

(1)、画出 $f (x)$ 的大致图象；

(2)、若 $x \in [- 2 ， 3]$ ，求 $f (x)$ 的最大值和最小值；

(3)、当 $f (x) \geq 2$ 时，求实数x的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a + b) x + 2 a$ .

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 ${x | 1 < x < 2}$ ，求 $a ， b$ 的值；

(2)、当 $b = 2$ 时，
（i）若函数 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 1]$ 上为单调递增函数，求实数 $a$ 的取值范围；
（ii）解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ .

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20. 某工厂某种航空产品的年固定成本为 $250$ 万元，每生产 $x$ 件，需另投入成本为 $C (x)$ ，当年产量不足 $80$ 件时， $C (x) = \frac{1}{3} x^{2} + 10 x$ （万元）.当年产量不小于 $80$ 件时， $C (x) = 51 x + \frac{10000}{x} - 1450$ （万元）. 每件商品售价为 $50$ 万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.

(1)、写出年利润 $L (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （件）的函数解析式；

(2)、年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

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