陕西省西安市碑林区2022-2023学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x \geq 1} ， B = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${x | x > - 1}$ B、 ${x | x \geq 1}$ C、 ${x | - 1 < x < 1}$ D、 ${x | 1 \leq x < 2}$

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2. 已知 $x ∈ R$ ，则“ $x = 0$ ”是“ $x^{2} - 3 x - 4 \leq 0$ ”的（）

A、充分必要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 命题 $p ： \forall x > 0 ， x^{2} - a x + 1 > 0$ 的否定是（）

A、 $\forall x > 0 ， x^{2} - a x + 1 \leq 0$ B、 $\forall x \leq 0 ， x^{2} - a x + 1 > 0$ C、 $\exists x_{0} > 0 ， x_{0}^{2} - a x_{0} + 1 \leq 0$ D、 $\exists x_{0} \leq 0 ， x_{0}^{2} - a x_{0} + 1 \leq 0$

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4. 已知 $a > b > 0$ ，下列不等式中正确的是（）

A、 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ B、 $a b < b^{2}$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $\frac{1}{a - 1} < \frac{1}{b - 1}$

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5. 铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（）

A、a + b + c ≤M B、a +b +c >M C、a + b + c ≥M D、a + b+ c <M

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6. 不等式 $(a - 2) x^{2} + 4 (a - 2) x - 12 < 0$ 的解集为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 ${a | - 1 \leq a < 2}$ B、 ${a | - 1 < a \leq 2}$ C、 ${a | - 2 < a < 1}$ D、 ${a | - 1 \leq a \leq 2}$

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7. 函数 $y = \frac{1}{4 + 3 x - x^{2}}$ 的单调增区间为（）

A、 $[\frac{3}{2} ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， \frac{3}{2}]$ C、 $[\frac{3}{2} ， 4)$ 和 $(4 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (- 1 ， \frac{3}{2}]$

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8. 已知 $f (x)$ 是偶函数， $g (x)$ 是奇函数，定义域均为 $[- 1 ， 1]$ ，二者在 $[0 ， 1]$ 上的图象如图所示，则关于 $x$ 的不等式 $f (x) g (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1 ， - \frac{1}{2}) ∪ (0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 0) ∪ (0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2} ， 0) ∪ (\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(- 1 ， - \frac{1}{2}) ∪ (\frac{1}{2} ， 1)$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、任何集合都是它自身的真子集 B、集合 ${a ， b}$ 共有4个子集 C、集合 ${x ∣ x = 3 n + 1 ， n \in Z} = {x ∣ x = 3 n - 2 ， n \in Z}$ D、集合 ${x ∣ x = 1 + a^{2} ， a \in N^{*}} = {x ∣ x = a^{2} - 4 a + 5 ， a \in N^{*}}$

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10. 已知命题 $p ： \exists x \in R ， a x^{2} - 4 x - 4 = 0$ ，若 $p$ 为真命题，则 $a$ 的值可以为（）

A、-2 B、-1 C、0 D、3

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11. 已知不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 ${x | m < x < n}$ ，其中 $n > m > 0$ ，则以下选项正确的有（）

A、 $a < 0$ B、 $b > 0$ C、 $c x^{2} + b x + a > 0$ 的解集为 ${x | \frac{1}{n} < x < \frac{1}{m}}$ D、 $c x^{2} + b x + a > 0$ 的解集为 ${x | x < \frac{1}{n}$ 或 $x > \frac{1}{m}}$

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12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设 $x ∈ R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数， $y = [x]$ 也被称为“高斯函数”，例如： $[1.6] = 1 ， [- 2.1] = - 3$ ，设函数 $f (x) = x + 1 - [x]$ ，则下列关于函数 $f (x)$ 叙述正确的是（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $[f (x)] = 1$ C、 $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 有最大值无最小值

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三、填空题

13. 写出一个同时具有下列三个性质的函数： $f (x) =$ .
① $f (x)$ 为幂函数；② $f (x)$ 为偶函数；③ $f (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 上单调递减.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 x^{2} - 4 & (x > 0) \\ \sqrt{2} & (x = 0) \\ - 2 x^{2} + 1 & (x < 0) \end{array}$ ，则 $f (- 3) + f (1) =$ .

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15. 若 $a$ ， $b > 0$ ，且 $a b = a + b + 3$ ，则 $a b$ 的最小值是．

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16. 若关于 $x$ 的不等式 $(2 x - 5)^{2} \geq k x^{2}$ 恰好有三个整数解，则实数 $k$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m + 3) x^{m}$ 的图象关于 $y$ 轴对称，集合 $A = {x | 1 - a < x \leq 3 a + 1}$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、当 $x \in [\frac{\sqrt{2}}{2} ， 2]$ 时， $f (x)$ 的值域为集合 $B$ ，若 $x \in B$ 是 $x \in A$ 成立的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 数学上把在平面直角坐标系中横坐标和纵坐标均为整数的点称之为格点或整点.设集合 $S$ 为第一象限连同边界上的格点集，即 $S = {(x ， y) ∣ x \in N ， y \in N}$ ，已知集合 $P = {(x ， y) ∣ y = - 2 x + 3} ， Q = {(x ， y) ∣ y = - x^{2} + 3}$ .

(1)、分别求 $P \cap S$ 和 $Q \cap S$ ；

(2)、求 $(P \cap S) \cup (Q \cap S)$ .

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19. 设 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为正数，且 $a + b =$ 1．

(1)、求 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值；

(2)、证明： $\sqrt{2 - a} + \sqrt{2 - b} \leq \sqrt{6}$ ．

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20. 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明：讲课开始 $x m i n$ 时，学生注意力集中度的值 $f (x)$ （ $f (x)$ 的值越大，表示学生的注意力越集中）与x的关系如下： $f (x) = {\begin{array}{l} - 0.1 x^{2} + 2.6 x + 43 ， 0 < x \leq 10 ， \\ 59 ， 10 < x \leq 16 ， \\ - 3 x + 107 ， 16 < x \leq 30 . \end{array}$

(1)、讲课开始 $5 m i n$ 时和讲课开始 $20 m i n$ 时比较，何时学生的注意力更集中？

(2)、讲课开始多少分钟时，学生的注意力最集中，能持续多久？

(3)、一道数学难题，需要讲解 $13 m i n$ ，并且要求学生的注意力集中度至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

(1)、证明： $f (x)$ 为偶函数；

(2)、判断 $g (x) = f (x) + x$ 的单调性并用定义证明；

(3)、解不等式 $f (x) - f (x - 2) + 2 x > 2$

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22. 定义：已知函数 $f (x)$ 在 $[m ， n] (m < n)$ 上的最小值为 $t$ ，若 $t \leq m$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 在 $[m ， n] (m < n)$ 上具有“ $D K$ ”性质．

(1)、判断函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 2$ 在 $[1 ， 2]$ 上是否具有“ $D K$ ”性质？说明理由．

(2)、若 $f (x) = x^{2} - a x + 2$ 在 $[a ， a + 1]$ 上具有“ $D K$ ”性质，求 $a$ 的取值范围．

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