山东省潍坊市2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 4 ， 8 ， 10 ， 12}$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， 4 ， 8 ， 10}$ ， $B = {2 ， 4 ， 8}$ ，则 $A ∩ ∁_{U} B =$ （）

A、 ${2}$ B、 ${2 ， 4}$ C、 ${1 ， 10}$ D、 ${1 ， 2 ， 4 ， 8}$

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2. 已知命题p：“ $\exists a > 0$ ，有 $a + \frac{1}{a} < 2$ 成立”，则命题p的否定为（）

A、 $\forall a \leq 0$ ，有 $a + \frac{1}{a} ≥ 2$ 成立 B、 $\forall a > 0$ ，有 $a + \frac{1}{a} ≥ 2$ 成立 C、 $\exists a \leq 0$ ，有 $a + \frac{1}{a} ≥ 2$ 成立 D、 $\exists a > 0$ ，有 $a + \frac{1}{a} ≥ 2$ 成立

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3. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 4 x + c = 0$ 的两根分别是 $x_{1} ， x_{2}$ ，且满足 $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = 6$ ，则实数 $c$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. $f (x) = | 1 - x |$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 若 $a \geq b > 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a \geq b \geq \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$ B、 $a \geq \frac{a + b}{2} \geq b \geq \sqrt{a b}$ C、 $\frac{a + b}{2} \geq a \geq \sqrt{a b} \geq b$ D、 $a \geq \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b} \geq b$

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6. 某商品计划提价两次，有甲、乙、丙三种方案，其中 $m > n > 0$ ，则两次提价后价格最高的方案为（）
方案
第一次提价（%）
第二次提价（%）
甲
$m$
$n$
乙
$n$
$m$
丙
$\frac{m + n}{2}$
$\frac{m + n}{2}$

A、甲 B、乙 C、丙 D、无法判断

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7. $\forall x \in R$ ， $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，十八世纪，函数 $y = [x]$ 被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”. 例如： $[- 2.1] = - 3$ ， $[3.1] = 3$ ，若 $[x^{2} - 2 x + 4] = 3$ ，则实数 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $[0 ， 1) ∪ (1 ， 2)$ C、 $(0 ， 1) ∪ (1 ， 2]$ D、 $[0 ， 2]$

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8. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 为偶函数，且 $f (x)$ 在 $[0 ， + ∞)$ 内单调递减，记 $a = f (- \frac{2}{3}) ， b = f (\frac{1}{2}) ， c = f (- t^{2} + t - 1)$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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二、多选题

9. 下列四个命题中正确的是（）

A、若 $a > b ， c > d ，$ 则 $a - d > b - c$ B、若 $a^{2} m > a^{2} n$ ，则 $m > n$ C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a - b} > \frac{1}{a}$ D、若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，则 $b^{2} < a b$

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10. 下列函数组中表示同一函数的有（）

A、 $f (x) = \frac{x^{4} - 1}{x^{2} + 1} ， g (x) = x^{2} - 1$ B、 $f (x) = x ， g (x) = \sqrt{x^{2}}$ C、 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} ， g (t) = | t - 1 |$ D、 $f (x) = 2 x - 1 ， g (t) = 2 t - 1$

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11. 图①是某大型游乐场的游客人数x（万人）与收支差额y（万元）（门票销售额减去投入的成本费用）的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是（）

A、图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元 B、图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡 C、图②游乐场实行的措施是降低门票的售价 D、图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用

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12. 已知 $a ， b \in R^{*}$ ， $a + 2 b = 1$ ，则 $\frac{b}{2 a} + \frac{1}{2 b} + \frac{1}{2 a b}$ 的值可能为（）

A、6 B、 $\frac{31}{5}$ C、 $\frac{13}{2}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 已知 $- 3 \in {12 ， a^{2} + 4 a ， a}$ ，则实数 $a =$ .

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14. 若集合 $A = {x | (x + 2) (x - 3) < 0}$ ， $B = {x | 3 - m \leq x \leq 5 + m}$ ，且“ $x ∈ A$ ”是“ $x ∈ B$ ”的充分不必要条件，则实数 $m$ 的取值范围为.

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15. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x - \frac{c}{x} + 2$ ，且 $f (t) = 2023$ ，则 $f (- t) =$ .

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16. 已知函数 $f (x)$ 满足对任意 $x_{1} ， x_{2} \in [a ， b]$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) (f (x_{1}) - f (x_{2})) > 0$ ，且 $f (a) \cdot f (b) < 0$ .在用二分法寻求零点的过程中，依次确定了零点 $x_{0}$ 所在区间依次为 $[a ， b] ，$ $[a ， \frac{a + b}{2}] ，$ $[a + 1 ， \frac{a + b}{2}]$ ， $[a + 1 ， \frac{a + b}{4}]$ ，则 $b - a =$ ；若 $x_{0}$ 的近似值小于0.001（精确度）时，一共至少需要进行次区间中点函数值的计算.

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四、解答题

17. 记关于x的不等式 $\frac{x - a}{x + 1} < 0$ 的解集为P，不等式|x－1|≤1的解集为Q．

(1)、若a＝3，求P；

(2)、若Q⊆P，求正数a的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， x \leq - 2 \\ x^{2} + 2 x ， - 2 < x < 2 \\ 2 x - 2 ， x \geq 2 \end{array}$ ， .

(1)、求 $f (- 5)$ ， $f (- \sqrt{3})$ ， $f (f (- \frac{5}{2}))$ 的值；

(2)、若 $f (a) = 3$ ，求实数a的值.

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19. 已知点 $A (2 ， \frac{4}{3})$ 在函数 $f (x) = \frac{k x}{x^{2} - 1} (k \in R)$ 的图象上

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式并用定义法证明 $f (x)$ 在区间(0，1)上的单调性；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{4}]$ 上的值域.

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20. 已知函数 $f (x) = m x^{2} - 4 x + 1$ 有两个不同的零点 $x_{1} ， x_{2}$ ．

(1)、求实数m的取值范围；

(2)、甲同学在探究“若 $x_{1} ， x_{2}$ 恰有一个在区间 $(- 1 ， 1)$ 内，求实数 $m$ 的取值范围”这一问题时，经过分类讨论研究后甲同学给出了如下解答：
由 $f (- 1) f (1) = (m + 5) (m - 3) < 0$ ，解得 $- 5 < m < 3$ .
据此他得出实数 $m$ 的取值范围为 $(- 5 ， 3)$ ．请你评判甲同学的解答完整吗？
如果不够完整．请你补充甲同学遗漏的情况，并给出满足题意的实数 $m$ 的取值范围．

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21. 某地2019年引进并种植了一种新型水果，据了解，该水果每斤的售价为25元，年销售量为8万斤.

(1)、经过市场调查分析，价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万斤，若每斤定价为t元（ $t \geq 25$ ），求每年的销售总收入 $f (t)$ 的解析式；

(2)、在（1）的条件下，要使提价后每年销售的总收入不低于原销售收入，该水果每斤定价最高应为多少元?

(3)、该地为提高年销售量，决定2022年末对该水果品质进行改良，改良后将定价提高到每斤 $x$ 元，拟投入 $\frac{1}{6} x^{2} + \frac{1}{5} x - 50$ 万元作为改良费用.请预测改良后，当该水果2023年的销售量 $a$ 至少应达到多少万斤，才可能使2023年的销售收入不低于改良前的年销售收入与改良费用之和?并求出此时水果的单价.

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22. 对于函数 $y = f (x) ， x \in I$ ，若存在 $x_{0} \in I$ ，使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 的 “不动点”；若存在 $x_{0} \in I$ ，使得 $f (f (x_{0})) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 的“稳定点”.记函数 $y = f (x)$ 的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，即 $A = {x | f (x) = x} ，$ $B = {x | f (f (x)) = x} .$

(1)、设函数 $f (x) = 2 x + 1$ ，求A和B；

(2)、请探究集合A和B的关系，并证明你的结论；

(3)、若 $f (x) = a x^{2} + 1 (a \in R ， x \in R)$ ，且 $A = B \neq \emptyset$ ，求实数a的取值范围.

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方案	第一次提价（%）	第二次提价（%）
甲	$m$	$n$
乙	$n$	$m$
丙	$\frac{m + n}{2}$	$\frac{m + n}{2}$