山东省济南市2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x ∣ - 1 < x < 2}$ ， $N = {x ∣ y = \sqrt{x}}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${x ∣ x > - 1}$ B、 ${x ∣ 0 \leq x < 2}$ C、 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ D、 ${x ∣ x \geq 0}$

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2. 已知命题 $p ： \forall x \in R$ ， $x + \frac{1}{x} \geq 2$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x + \frac{1}{x} \geq 2$ B、 $\exists x \in R$ ， $x + \frac{1}{x} < 2$ C、 $\exists x \in R$ ， $x + \frac{1}{x} \leq 2$ D、 $\forall x \in R$ ， $x + \frac{1}{x} < 2$

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3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）

A、 $y = 2 x + 1$ B、 $y = - \frac{1}{x}$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = x^{2}$

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4. 平板电脑屏幕面积与整机面积的比值叫电脑的“屏占比”，它是平板电脑外观设计中的一个重要参数，其值在（0，1）间，设计师将某平板电脑的屏幕面积与整机面积同时减少相同的数量，升级为一款“迷你”新电脑的外观，则该新电脑“屏占比”和升级前比（）

A、“屏占比”不变 B、“屏占比”变小 C、“屏占比”变大 D、“屏占比”变化不确定

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5. 已知a， $b \in R$ ，若 $a b < 0$ ， $a + b > 0$ ， $a > b$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 0$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $a < | b |$

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6. 不等式 ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}} > {(3 x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ 的解为（）

A、 $(- \frac{1}{3} ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (1 ， + \infty)$

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7. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ 上的奇函数，且 $f (- 1) = 0$ ，若对于任意两个实数 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，不等式 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 恒成立，则不等式 $x f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 0) ∪ (0 ， 1)$

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8. 已知 $[x]$ 表示不超过实数x的最大整数，若函数 $f (x) = x - [x]$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的值域为 $[0 ， 1)$

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二、多选题

9. 已知集合 $M = {- 1 ， 1 ， 2 ， 4}$ ， $N = {1 ， 2 ， 4 ， 16}$ ，请根据函数定义，下列四个对应法则能构成从 $M$ 到 $N$ 的函数的是（）

A、 $y = 2 x$ B、 $y = | x |$ C、 $y = x + 2$ D、 $y = x^{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的对称中心为 $(- 1 ， 1)$ B、 $f (x)$ 的值域为 $R$ C、 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， + \infty)$ 上单调递增 D、 $f (1) + f (2) + f (3) + ⋯ + f (2022) + f (\frac{1}{2}) + f (\frac{1}{3}) + ⋯ + f (\frac{1}{2022})$ 的值为 $\frac{4043}{2}$

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11. 若正实数a，b满足 $a + b = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 最大值为 $\sqrt{2}$ B、 $a^{2} + b^{2}$ 最小值为 $\frac{1}{2}$ C、ab最小值为 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{a + 2 b} + \frac{1}{2 a + b}$ 最小值为 $\frac{4}{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x - 1 | ， x \leq 2 \\ - x^{2} + 4 x - 3 ， x > 2 \end{array}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的单调减区间为 $(- \infty ， 1] \cup [2 ， + \infty)$ B、若 $f (x) = k$ 有三个不同实数根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，则 $4 < x_{1} + x_{2} + x_{3} < 5$ C、若 $f (x + a) > f (x)$ 恒成立，则实数a的取值范围是 $(- \infty ， - \frac{9}{4})$ D、对任意的 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} \in (2 ， + \infty)$ ，不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}}{4}) \geq \frac{1}{4} [f (x_{1}) + f (x_{2}) + f (x_{3}) + f (x_{4})]$ 恒成立

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三、填空题

13. $8^{\frac{2}{3}} + π^{0} + \sqrt{(- 2)^{2}}$ 的值为．

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14. 若“ $x > k$ ”是“ $- 3 \leq x < 2$ ”的必要不充分条件，则实数k的取值范围是．

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15. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a b = a + b + 3$ ，则 $a + b$ 的最小值为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a^{2} - a x ， x < 2 \\ x^{2} - a x ， x \geq 2 \end{array}$ ． ①若 $f [f (a)] = 1$ ，则a的值为．
②若不等式 $f (x) \geq f (2)$ 对任意 $x \in R$ 都成立，则实数a的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} + 2 x - 3 > 0}$ ， $B = {x ∣ - 5 \leq x < 0}$ ， $R$ 为实数集．

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、求 $(∁_{R} A) ∩ (∁_{R} B)$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 x + a$ ．

(1)、当 $a = 5$ ， $x \in [- 2 ， 3]$ 时，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、若不等式 $f (x) < 0$ 的解集中的整数解恰好有三个，求实数a的取值范围．

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19. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的增函数，满足 $f (2) = 1$ ，且对任意的 $x_{1} ， x_{2}$ 都有 $f (x_{1} x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})$ ．

(1)、求 $f (4)$ 的值；

(2)、求不等式 $f (x) + f (x + 2) \leq 2$ 的解集．

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20. 济南高新区一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地租赁费为 $y_{1}$ 万元，仓库到车站的距离为 $x (x > 0)$ km，每月库存管理费为 $y_{2}$ 万元，其中 $y_{1}$ 与 $x + 1$ 成反比， $y_{2}$ 与x成正比，若在距离车站9km处建仓库，则 $y_{1} = 20$ ， $y_{2} = 72$ ．

(1)、分别求出 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 关于x的函数解析式；

(2)、该公司把仓库建在距离车站多远处，能使这两项费用之和最少，并求出最少费用（万元）．

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21. 定义两种新的运算： $a \oplus b = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ ， $a \otimes b = \sqrt{(a - b)^{2}}$ ，已知函数 $f (x) = \frac{2 \oplus x}{2 - (x \otimes 2)}$ ．

(1)、求 $f (1)$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(3)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并用函数奇偶性的定义证明．

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22. 若函数 $y = f (x)$ 自变量的取值区间为 $[a ， b]$ 时，函数值的取值区间恰为 $[\frac{3}{b} ， \frac{3}{a}]$ ，就称区间 $[a ， b]$ 为 $y = f (x)$ 的一个“和谐区间”．已知函数 $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $g (x) = - x + 4$ ．

(1)、当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时，求 $g (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $g (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 内的“和谐区间”；

(3)、若以函数 $g (x)$ 在定义域内所有“和谐区间”上的图象作为函数 $y = h (x)$ 的图像，是否存在实数t，使集合 ${(x ， y) ∣ y = h (x)} \cap {(x ， y) ∣ y = - \frac{1}{2} x^{2} + t}$ 恰含有2个元素．若存在，求出满足条件的所有实数t所构成的集合；若不存在，说明理由．

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