山东省菏泽市2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集 $A = {x | 1 \leq x \leq 6}$ ，集合 $B = {x | 2 < x < 5}$ ，则 $∁_{A} B =$ （）

A、 ${x | x \geq 5$ 或 $x \leq 2}$ B、 ${x | 1 \leq x \leq 2$ 或 $5 \leq x \leq 6}$ C、 ${x | 1 \leq x < 2$ 或 $5 < x \leq 6}$ D、 ${x | 1 < x \leq 2$ 或 $5 \leq x < 6}$

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2. “ $x = - 3$ ”是“ $x^{2} + x - 6 = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x ， x > 0 \\ f (x + 1) ， x < 0 \end{array}$ ，则 $f (- \frac{3}{2}) =$ （）

A、-1 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、3

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4. 命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 3 x + 3 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 3 x + 3 < 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 3 x + 3 \geq 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 3 x + 3 \leq 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 3 x + 3 < 0$

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5. 设集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 4}$ ，集合 $B = {x | x \geq a}$ ，若 $A ⊆ B$ ，则a的取值范围为（）

A、 $a \geq 4$ B、 $- 1 \leq a \leq 4$ C、 $a < - 1$ D、 $a \leq - 1$

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6. 已知 $a > 2$ ，函数 $y = x^{2} - 2 x - 1 (x \in [0 ， a])$ 的值域是（）

A、 $[- 2 ， - 1]$ B、 $[- 1 ， a^{2} - 2 a - 1]$ C、 $[- 2 ， a^{2} - 2 a - 1]$ D、 $[- 2 ， 2]$

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7. 某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为15000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数 $R (x) = {\begin{array}{l} 400 x - \frac{1}{2} x^{2} ， 0 \leq x \leq 400 \\ 80000 ， x > 400 \end{array}$ ，其中x是“玉兔”的月产量，则该厂所获最大利润为（）（总收益＝成本＋利润）

A、4万元 B、3万元 C、2.5万元 D、2万元

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8. 定义： $m i n {x ， y}$ 为实数x，y中较小的数，已知 $a = m i n {x ， \frac{4 y}{x^{2} + 4 y^{2}}}$ ，其中x，y均为正实数，则a的最大值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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二、多选题

9. 下列关系中正确的是（）

A、 $\emptyset = {0}$ B、 ${1 ， 2}$ $R$ C、 ${(a ， b)} \subseteq {a ， b}$ D、 ${0 ， 1} \subseteq {1 ， 0}$

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10. 设 $b > a$ ， $a b > 0$ ，则下列不等关系正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $0 < \frac{a}{b} < 1$ C、 $a + b < 2 b$ D、 $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$

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11. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 - a) x ， x \leq 1 \\ x^{a} ， x > 1 \end{array}$ ，则以下说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 有最小值，则 $a \geq 2$ B、存在正实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 是 $R$ 上的减函数 C、存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 的值域为 $R$ D、若 $a > 2$ ，则存在 $x_{0} \in (1 ， + \infty)$ ，使得 $f (x_{0}) = f (2 - x_{0})$

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12. 已知偶函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x) + f (- x - 2) = - 2$ ， $f (0) = 1$ ，则以下说法正确的是（）

A、 $f (x) = f (x + 4)$ B、函数 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = 2$ 对称 C、 $f (3) = 1$ D、 $f (1) + f (2) + f (3) + ⋯ + f (20) = - 20$

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三、填空题

13. ${1 ， a} \subseteq {1 ， a^{2} ， - 1}$ ，则 $a =$ ．

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14. 函数 $y = \sqrt{2 x - 4} + \frac{1}{x - 3}$ 的定义域为．

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15. 函数 $f (x) = x + 1 + 2 \sqrt{1 - x}$ 的最大值为．

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16. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， x \leq 1 \\ \sqrt{x} ， x > 1 \end{array}$ ，若 $f (x) > f (x + 1)$ ，则 $x$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知幂函数 $f (x) = (t^{2} - 7 t + 13) x^{t - 1}$ 为奇函数．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、令 $g (x) = {[f (x)]}^{\frac{1}{3}}$ ，若函数 $y = g^{2} (x) + a g (2 x + 1)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数a的取值范围．

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18. 已知集合 $A = {x | 2 a \leq x \leq a + 3}$ ， $B = {x | x < - 1$ 或 $x > 5}$ ．

(1)、若 $a = - 1$ ，求 $A \cup ∁_{R} B$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求a的取值范围．

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19. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - 6 x + 5 \leq 0}$ ，集合 $B = {x | - 1 - 2 a \leq x \leq a - 2}$ ．

(1)、若 $A \cap ∁_{R} B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围：

(2)、若“ $\forall x \in B$ ”是“ $x ∈ A$ ”的充分条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ．

(1)、求出函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(2)、在给出的坐标系中画出 $f (x)$ 的图象；

(3)、解关于 $x$ 的不等式 $| f (x) | ≥ x$ ．

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21. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ．

(1)、若 $f (x) < 0$ 的解集为 ${x | x > - 1$ 或 $x < 4}$ ，解关于x的不等式 $\frac{a x + b}{c x - 8 b} < 0$ ；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 2 a x + b$ 对 $x \in R$ 恒成立，求 $\frac{b^{2}}{3 a^{2} + c^{2}}$ 的最大值．

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22. 定义在 $(0 ， + ∞)$ 上的函数 $f (x)$ 满足下面三个条件：
①对任意正数a，b，都有 $f (a) + f (b) = f (a b)$ ；
②当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ ；
③ $f (3) = 1$

(1)、求 $f (1)$ 和 $f (\frac{1}{9})$ 的值；

(2)、试用单调性定义证明：函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上是增函数；

(3)、求满足 $f (9 x^{3} - 18 x^{2}) - 2 > f (3 x)$ 的x的取值集合．

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