辽宁省协作校2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列关系中正确的个数是（）
① $\frac{4}{3} \in Q$ ；② $\sqrt{\frac{4}{3}} \in R$ ；③ ${0} \in {0 ， 1}$ ；④ $4 \in N$ ；⑤ ${\emptyset} = \emptyset$ ；⑥ $U = R$ ， $A = {x | - 2 < x \leq 3}$ ， $∁_{R} A = {x | x < - 2$ 或 $x > 3}$ ．

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 命题“ $\exists a$ ， $b > 0$ ， $a + \frac{1}{b} \geq 2$ 和 $b + \frac{1}{a} \geq 2$ 都不成立”的否定为（）

A、 $\forall a$ ， $b > 0$ ， $a + \frac{1}{b} < 2$ 和 $b + \frac{1}{a} < 2$ 至少有一个成立 B、 $\forall a$ ， $b > 0$ ， $a + \frac{1}{b} \geq 2$ 和 $b + \frac{1}{a} \geq 2$ 都不成立 C、 $\exists a$ ， $b > 0$ ， $a + \frac{1}{b} > 2$ 和 $b + \frac{1}{a} > 2$ 都不成立 D、 $\forall a$ ， $b > 0$ ， $a + \frac{1}{b} \geq 2$ 和 $b + \frac{1}{a} \geq 2$ 至少有一个成立

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3. 下列四组函数中，有相同图象的是（）

A、 $y = x + 1$ ， $y = \sqrt{{(x + 1)}^{2}}$ B、 $y = \sqrt{x - 1}$ ， $y = \frac{x - 1}{\sqrt{x - 1}}$ C、 $y = 3$ ， $y = \frac{3 x^{2} + 2}{x^{2} + \frac{2}{3}}$ D、 $f (x) = | x |$ ， $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$

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4. 新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时 $t (n)$ （单位：小时）大致服从的关系为 $t (n) = {\begin{array}{l} \frac{t_{0}}{\sqrt{n}} ， n < N_{0} \\ \frac{t_{0}}{\sqrt{N_{0}}} ， n \geq N_{0} \end{array}$ （ $t_{0}$ 、 $N_{0}$ 为常数）．已知第4天检测过程平均耗时为12小时，第9天和第10天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第7天检测过程平均耗时大致为（）（ $\sqrt{7} \approx 2.646$ ）

A、8小时 B、9小时 C、10小时 D、11小时

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5. 在R上定义运算“ $⊙$ ”： $a ⊙ b = a b - 2 a - b$ ，则满足 $(x + 1) ⊙ (x + 2) < 0$ 的实数x的取值范围为（）

A、 ${x | 0 < x < 2}$ B、 ${x | - \sqrt{2} < x < 1}$ C、 ${x | x < - \sqrt{2}$ 或 $x > \sqrt{2}}$ D、 ${x | - \sqrt{2} < x < \sqrt{2}}$

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6. 单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路一小时通过的车辆数 $N$ 满足关系 $N = \frac{5000 v}{\frac{7}{2} v + \frac{3}{2} v^{2} + 5 d_{0}}$ ，其中 $d_{0}$ 为安全距离， $v$ 为车速（ $m / s$ ）．当安全距离 $d_{0}$ 取 $30 m$ 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（）

A、 $125$ B、 $149$ C、 $160$ D、 $190$

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7. 设正实数 $x ， y ， z$ 满足 $x^{2} + 6 x y + y^{2} - z = 0$ ，则当 $\frac{x y}{z}$ 取最大值时， $\frac{2}{x} - \frac{1}{y} - \frac{2}{z}$ 的最大值为（）

A、0 B、3 C、 $- 1$ D、1

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8. 已知函数 $f (x)$ 的图像关于 $x = 3$ 对称，且对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [0 ， + \infty) (x_{1} \neq x_{2})$ ，总有 $\frac{f (x_{1} + 3) - f (x_{2} + 3)}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (- 2) < f (4)$ B、 $f (- 2) < f (5)$ C、 $f (0) < f (6)$ D、 $f (0) = f (6)$

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二、多选题

9. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 4$ ，则下列不等式中对一切满足条件的 $a$ ， $b$ 恒成立的是（）

A、 $a b \leq 4$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq 2 \sqrt{2}$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq 8$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 1$

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10. 已知 $p ： x \geq n$ ， $q ： 6 + 7 x - 3 x^{2} < 0$ ，下列给出的实数 $n$ 的值，能使p是q的充分不必要条件的是（）

A、 $n = 3$ B、 $n = \frac{7}{2}$ C、 $n = 4$ D、 $n = - \frac{2}{3}$

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11. 对任意两个实数a，b，定义 $m i n {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， a \leq b \\ b ， a > b \end{array}$ ，若 $f (x) = 4 - x^{2}$ ， $g (x) = x^{2}$ ，下列关于函数 $F (x) = m i n {f (x) ， g (x)}$ 的说法正确的是（）

A、函数 $F (x)$ 是偶函数 B、方程 $F (x) = 0$ 有三个解 C、函数 $F (x)$ 有3个单调区间 D、函数 $F (x)$ 有最大值为4，无最小值

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12. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} - x + 4 ， x < 1 \\ \frac{k}{x} + k x + 4 ， x \geq 1 \end{array}$ （常数 $k \neq 0$ ），则正确的选项为（）

A、当 $k > 0$ 时， $f (x)$ 在R上单调递减 B、当 $k > - \frac{1}{4}$ 时， $f (x)$ 没有最小值 C、当 $k = - 1$ 时， $f (x)$ 的值域为 $(0 ， + ∞)$ D、当 $k = \frac{1}{2}$ 时， $\forall x_{1} \geq 1$ ， $\exists x_{2} < 1$ ，有 $f (x_{1}) = f (x_{2})$

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三、填空题

13. 已知 $x$ ， $y$ 均为正数，若 $x + 2 y - 3 x y = 0$ ，则 $x + y$ 的最小值．

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14. 在R上定义运算 $| \begin{array}{l} a & c \\ b & d \end{array} | = a d - b c$ ，若 $| \begin{array}{l} - 5 x & 6 \\ x & x \end{array} | < | \begin{array}{l} - \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ 成立，则x的解集是．

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15. 若 $\forall x \in R$ ， $f (x) = (x^{2} - 2) (x + b)$ 是奇函数，则 $(x^{2} - 2) (x + b) > 0$ 的解集为．

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16. 若“对于一切实数 $x$ ， $x^{2} + (a - 1) x + a + 2 > 0$ ”是“对于一切实数 $x$ ， $m x^{2} + 2 a x + m > 0$ ”的必要条件，则实数 $m$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (k + 2) x + 2 k$ ，有两个不同的零点．

(1)、若其中一个零点在区间 $(- 1 ， 1)$ 上，求k的取值范围；

(2)、若函数的两个不同的零点是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 的最小值．

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18. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 4 x$ ，函数 $f (x)$ 在 $y$ 轴左侧的图象如图所示，并根据图象：

(1)、画出 $f (x)$ 在 $y$ 轴右侧的图象，并写出函数 $f (x)$ $(x \in R)$ 的单调递增区间；

(2)、写出函数 $f (x)$ $(x \in R)$ 的解析式；

(3)、若函数 $g (x) = f (x) + (3 - a) x + 4 (x \in [2 ， 4])$ ，求函数 $g (x)$ 的最小值．

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19. 已知集合 $A = {x | x^{2} + (2 a - 2) x + a^{2} - 2 a \leq 0}$ ， $B = {x | x^{2} + x - 6 < 0}$ ．

(1)、若“ $x ∈ A$ ”是“ $x ∈ B$ ”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设命题 $p ： \exists x \in B$ ， $x^{2} + (m + 1) x + m^{2} - m > 11$ ，若命题p为假命题，求实数m的取值范围．

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20. 某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔 $t$ （单位：分钟）满足 $5 \leq t \leq 20$ ， $t \in N$ ．经测算，该路无人驾驶公交车载客量 $p (t)$ 与发车时间间隔t满足： $p (t) = {\begin{array}{l} 60 - {(t - 10)}^{2} ， 5 \leq t < 10 \\ 60 ， 10 \leq t \leq 20 \end{array}$ ，其中 $t \in N$ ．

(1)、求 $p (5)$ ，并说明 $p (5)$ 的实际意义；

(2)、若该路公交车每分钟的净收益 $y = \frac{3 p (t) + 108}{t} - 10$ （元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{2 a x + b}{x^{2} + b x + a}$ 是定义在 $(- 1 ， 1)$ 上的奇函数，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{5}$ ．

(1)、确定函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in (- 1 ， 1)$ 时，判断函数 $f (x)$ 的单调性，并证明；

(3)、解不等式 $f (2 x + 1) + f (\frac{1}{2} x) < 0$ ．

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22. 已知 $a$ ， $b$ 为常数，函数 $f (x) = x^{2} - (2 a + 3) x + b$ ．

(1)、当 $b = 6 a$ 时，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集；

(2)、对于给定的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ， $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ ，证明：关于 $x$ 的方程 $f (x) = \frac{1}{3} [f (x_{1}) + 2 f (x_{2})]$ 在区间 $(x_{1} ， x_{2})$ 内有一个实根；

(3)、若 $f (x)$ 为偶函数，且 $b = 2 a$ ，设 $g (x) = f (x) + 2$ ，若对任意 $x \in (- \infty ， - 1]$ ， $g (\frac{x}{m}) - g (x - 1) \leq 4 [m^{2} g (x) + g (m)]$ 均成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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