江苏省扬州市邗江区2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | x^{2} - 3 > 0}$ ， B={0，1，2，3，4}，则A∩B中元素的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 若命题 $p ： \forall x \in R ， x^{2} + 2 < 0$ ，则 $\neg p$ ：（）

A、 $\exists x_{0} \in R ， {x_{0}}^{2} + 2 \geq 0$ B、 $\exists x_{0} \in R ， {x_{0}}^{2} + 2 > 0$ C、 $\forall x \in R ， x^{2} + 2 > 0$ D、 $\forall x \in R ， x^{2} + 2 \geq 0$

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3. 某校第34届校田径运动会在今年11月顺利举行，该校高一2001班共有50名学生，有20名学生踊跃报名，其中报名参加田赛的同学有10人，报名参加径赛的同学有13人，则既参加田赛又参加径赛的同学有（）

A、2人 B、3人 C、4人 D、5人

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4. 命题 $p ： \exists x_{0} \in (0 ， + ∞)$ 使得 $x_{0}^{2} - λ x_{0} + 1 < 0$ 成立，若 $p$ 是假命题，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $[- 2 ， 2]$ D、 $(- ∞ ， - 2) \cup [2 ， + ∞)$

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5. 已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（-2）=（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 若正数 $x ， y$ 满足 $x^{2} + x y - 2 = 0$ ，则 $3 x + y$ 的最小值是（）

A、 $4$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $4 \sqrt{2}$

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7. 已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴交点的横坐标分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $⋯$ ， $x_{2023}$ ，且 $x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{2023} = m$ ，则不等式 $3 x^{2} - (m + 2) x - 1 \leq m$ 的解集为（）

A、 $[- \frac{1}{3} ， 1]$ B、 $[0 ， 3]$ C、 $(- ∞ ， 0)$ D、 $\emptyset$

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8. 设定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足，对任意 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 1$ ，且 $f (3) = 3$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x} > 1$ 的解集为（）

A、 $(- 3 ， 0) ∪ (0 ， 3)$ B、 $(- \infty ， - 3) ∪ (0 ， 3)$ C、 $(- \infty ， - 3) ∪ (3 ， + \infty)$ D、 $(- 3 ， 0) \cup (3 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 3}$ ，集合 $B = {x | x < m + 1}$ ，则 $A \cap B = \emptyset$ 的一个充分不必要条件是（）

A、 $m \leq - 2$ B、 $m < - 2$ C、 $m < 2$ D、 $- 4 < m < - 3$

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10. 已知 $a ， b \in R ， 4^{a} = b^{2} = 9$ ，则 $2^{a - b}$ 的值可能为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、24 D、 $\frac{1}{24}$

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11. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 ${x | x < - 2$ 或 $x > 4}$ ，则（）

A、 $a > 0$ B、不等式 $b x + c > 0$ 的解集为 ${x | x < - 4}$ C、 $a + b + c > 0$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 ${x | x < - \frac{1}{4}$ 或 $x > \frac{1}{2}}$

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12. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，也称为取整函数.如 $[1.2] = 1$ ， $[3.9] = 3$ ， $[- 1.5] = - 2$ ，以下关于“高斯函数”的性质应用是真命题的有（）

A、 $\exists x \in R$ ， $[2 x] = 2 [x]$ B、 $\forall x ， y \in R$ ， $[x] = [y]$ ，则 $x - y < 1$ C、 $\forall x ， y \in R$ ， $[x + y] \leq [x] + [y]$ D、若 $f (x) = [x]$ 的定义域为 $[0 ， 3]$ ，值域为M， $g (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}$ 的定义域为N，则 $M \cup N = {x | 0 \leq x \leq 2}$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - 8$ 零点是．

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14. 已知 $f (\frac{2 x}{x + 1}) = x^{2} - 1$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ ．

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15. 若方程 $x^{2} + m x + 4 = 0$ 的两个根都在区间 $(1 ， + \infty)$ 内，则实数m的取值范围为．

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16. 已知a>0，b>0，a+b=1，则：(1) $\frac{1}{a + 2} + \frac{1}{b + 2}$ 的最小值是；(2) $\frac{1}{a} (b + \frac{1}{b})$ 的最小值是.

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四、解答题

17.

(1)、化简： $\frac{6 \sqrt[3]{a b \sqrt{a}}}{4 a^{\frac{1}{2}} b^{- \frac{2}{3}}}$ ；

(2)、求值： $l g 4 + 2 l g 5 + π^{0} - 2 l n \sqrt{e} + 3^{2 + l o g_{3} 7}$

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18. 已知集合 $A = {x | x^{2} + x - 6 > 0} ， B = {x | - 4 < x - 2 < 2}$ ．

(1)、求 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若集合 $M = {x | 2 k - 1 \leq x \leq 2 k + 1}$ 是集合 $A$ 的真子集，求实数 $k$ 的取值范围．

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19. 已知函数f（x）＝x²－ax＋2．

(1)、若f（x）≤－4的解集为[2，b]，求实数a，b的值；

(2)、当 $x \in [\frac{1}{4} ， + \infty)$ 时，若关于x的不等式f（x）≥1－x²恒成立，求实数a的取值范围．

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20. 函数 $f (x) = \frac{a x - b}{4 - x^{2}}$ 是定义在 $(- 2 ， 2)$ 上的奇函数，且 $f (1) = \frac{1}{3}$ .

(1)、确定 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(- 2 ， 2)$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、解关于 $t$ 的不等式 $f (t - 1) + f (t) < 0$ .

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21. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产 $x$ 万件，需另投入流动成本为 $C (x)$ 万元．在年产量不足8万件时， $C (x) = \frac{1}{3} x^{2} + 2 x$ （万元）；在年产量不小于8万件时， $C (x) = 7 x + \frac{100}{x} - 37$ （万元）．每年产品售价为6元．假设小王生产的商品当年全部售完．

(1)、写出年利润 $P (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （万件）的函数解析式（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）；

(2)、年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 m x - 4$ 在区间 $[- 1 ， 2]$ 上是单调函数.

(1)、求实数 $m$ 的所有取值组成的集合 $A$ ；

(2)、试写出 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 2]$ 上的最大值 $g (m)$ ；

(3)、设 $h (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + 4$ ，令 $F (m) = {\begin{array}{l} g (m) ， m \in A \\ h (m) ， m \in ∁_{R} A \end{array}$ ，对任意 $m_{1}$ 、 $m_{2} \in [- \frac{7}{2} ， a]$ ，都有 $| F (m_{1}) - F (m_{2}) | \leq a + 3$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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