江苏省苏州市六校2022-2023学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | x < 2}$ ， $B = {y | y = \sqrt{x - 1}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 1 < x < 2}$ B、 ${x | 0 < x < 2}$ C、 ${x | 1 \leq x < 2}$ D、 ${x | 0 \leq x < 2}$

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2. 已知全集 $U = {x \in R | x < 0} ，$ $M = {x | x < - 1} ，$ $N = {x | - 3 < x < 0} ，$ 则图中阴影部分表示的集合是

A、 ${x | - 3 < x < - 1}$ B、 ${x | - 3 < x < 0}$ C、 ${x | - 1 \leq x < 0}$ D、 ${x | - 1 < x < 0}$

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3. 已知 $a ， b \in R$ ，则“ $a b = 0$ ”是“ $a^{2} + b^{2} = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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4. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {1 ， 2 ， 3}$ ，若 $M \subseteq A$ 且 $M \subseteq B$ ，则M的个数为（）

A、1 B、3 C、4 D、6

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5. 若 $x < 1$ ，则函数 $f (x) = x + \frac{2}{x - 1}$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $- 2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2} + 1$ D、 $- 2 \sqrt{2} + 1$

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6. 若关于x的不等式 $x^{2} - (m + 3) x + 3 m < 0$ 的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（）

A、 $5 < m \leq 6$ B、 $5 \leq m \leq 6$ C、 $6 < m \leq 7$ D、 $6 \leq m \leq 7$

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7. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $- 4 \leq x - y \leq - 1$ ， $- 1 \leq 4 x - y \leq 5$ ，则 $3 x + y$ 的最大值为（）

A、8 B、9 C、16 D、18

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8. 已知正实数 $a ， b$ 满足 $a + b = \frac{5}{2}$ ，则 $\frac{a^{2}}{a + 1} + \frac{2 b^{2}}{2 b + 1}$ 的最小值是（）

A、2 B、 $\frac{25}{16}$ C、 $\frac{31}{12}$ D、 $\frac{13}{4}$

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二、多选题

9. 已知全集 $U = Z$ ，集合 $A = {x | 2 x + 1 \geq 0 ， x \in Z}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则（）

A、 $A ∩ B = {0 ， 1 ， 2}$ B、 $A \cup B = {x | x \geq 0}$ C、 $(∁_{U} A) ∩ B = {- 1}$ D、 $A \cap B$ 的真子集个数是7

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10. 若不等式m＜n与 $\frac{1}{m} > \frac{1}{n}$ （m，n为实数）同时成立，则下列不等关系可能成立的是（）

A、 $m < n < 0$ B、 $0 < m < n$ C、 $m < 0 < n$ D、 $m n < 0$

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11. 小王从甲地到乙地往返的速度分别为 $a$ 和 $b (a < b)$ ，其全程的平均速度为 $v$ ，则（）

A、 $a < v < \sqrt{a b}$ B、 $v = \sqrt{a b}$ C、 $\sqrt{a b} < v < \frac{a + b}{2}$ D、 $v = \frac{2 a b}{a + b}$

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12. 在整数集Z中，被6除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为 $[k]$ ，即 $[k] = {x | x = 6 n + k ， n \in Z}$ ， $k = 0$ ， 1，2，3，4，5，则（）

A、 $- 5 \in [5]$ B、 $Z = [0] \cup [1] \cup [2] \cup [3] \cup [4] \cup [5]$ C、“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“ $a - b \in [0]$ ” D、“整数a，b满足 $a \in [1] ， b \in [2]$ ”是“ $a + b \in [3]$ ”的必要不充分条件.

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三、填空题

13. 命题“ $\forall x > 0$ ， $x^{2} + 1 > 0$ ”的否定为.

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14. 某班共40人，其中20人喜欢篮球运动，15人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为.

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15. $x^{2} - 2 x - m < 0$ 在 $x \in {x | 1 \leq x \leq 2}$ 上有解的一个必要不充分条件可以是.

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16. 实数 $x ， y$ 满足 $x^{2} - x y = 1$ ，则当 $x =$ 时， $y^{2} + 3 x y$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | a - 1 \leq x \leq 2 a + 1}$ ， $B = {x | - 2 \leq x \leq 3} .$ 在① $A \cup B = B$ ；②“ $x ∈ A$ “是“ $x ∈ B$ ”的充分不必要条件；③ $A \cap B = \emptyset$ 这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $∁_{R} (A \cup B)$ ；

(2)、若________，求实数a的取值范围.

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18. 已知集合 $A = {x | \frac{2 x + 1}{x - 1} < 1}$ ， $B = {x | 2 x^{2} + (m - 2) x - m < 0}$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、 $x ∈ A$ 是 $x ∈ B$ 的必要条件，求 $m$ 的取值范围．

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19. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $2 x y = x + 4 y$ .

(1)、求 $x y$ 的最小值；

(2)、求 $x + y$ 的最小值．

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20. 某企业开发了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x百件，需另投入成本 $c (x)$ （单位：万元），当年产量不足30百件时， $c (x) = 10 x^{2} + 100 x$ ；当年产量不小于30百件时， $c (x) = 501 x + \frac{10000}{x} - 4500$ ．若每百件电子产品的售价为500万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完．

(1)、求年利润y（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式；

(2)、年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？

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21. 设函数 $f (x) = x^{2} + a x - b$

(1)、若不等式 $f (x) < 0$ 的解集是 ${x | 2 < x < 3}$ ，求不等式 $b x^{2} - a x + 1 \leq 0$ 的解集；

(2)、当 $a + b = 3$ 时， $f (x) \geq 0$ 对 $1 \leq x \leq 2$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 定义：已知集合 $M = {x | 2 a - 3 < x < 2 a} (a \geq 0)$ ， $\forall x \in M$ ， $a x^{2} - (a^{2} + a + 2) x + 2 a + 2 > 0$ ，则称 $a x^{2} - (a^{2} + a + 2) x + 2 a + 2 > 0$ 为“有界恒正不等式”.

(1)、当 $a = 4$ 时，判断 $a x^{2} - (a^{2} + a + 2) x + 2 a + 2 > 0$ 是否为“有界恒正不等式”；

(2)、设 $a x^{2} - (a^{2} + a + 2) x + 2 a + 2 > 0$ 为“有界恒正不等式”，求 $a$ 的取值范围.

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