江苏省常州市金坛区2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3} ， B = {2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 $A ∪ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$

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2. 命题“ $\exists x \in R ， x^{2} + 3 x + 1 < 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in R ， x^{2} + 3 x + 1 < 0$ B、 $\exists x \in R ， x^{2} + 3 x + 1 \leq 0$ C、 $\forall x \in R ， x^{2} + 3 x + 1 \geq 0$ D、 $\exists x \in R ， x^{2} + 3 x + 1 > 0$

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3. 者关于x的不等式 $- 2 x^{2} + 5 x - m > 0$ 的解集为 ${x | 1 < x < \frac{3}{2}}$ ，则实数m的值是（）

A、 $m = - 3$ B、 $m = - \frac{3}{2}$ C、 $m = \frac{3}{2}$ D、 $m = 3$

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4. 若集合 $A = {x | x^{2} - (m + 1) x + m = 0}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1}$ ，则“ $m = - 1$ ”是“ $A ⊆ B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若 $m ， n$ 均为正数，且 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n} = 1$ ，则 $m + n$ 的最小值等于（）

A、 $4 + 2 \sqrt{2}$ B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $3 + \sqrt{2}$ D、5

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6. 已知函数 $f (x)$ 为偶函数，当 $x_{2} < x_{1} \leq 0$ 时， $[f (x_{2}) - f (x_{1})] (x_{2} - x_{1}) < 0$ 恒成立，设 $a = f (- 2) ， b = f (- 1) ， c = f (3)$ ，则a，b，c的大小关系为（）.

A、 $c < a < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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7. 若函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 分别由下表给出：
$x$
1
0
$- 1$
$f (x)$
$- 1$
0
1
$x$
3
2
1
$g (x)$
$- 1$
1
0
则不等式 $f [g (x)] \leq 0$ 的解集为（）

A、 ${3}$ B、 ${2}$ C、 ${1 ， 3}$ D、 ${1 ， 2}$

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8. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $(- \infty ， - 1) \cup (- 1 ， + \infty)$ ，且 $f (x - 1)$ 为奇函数，当 $x < - 1$ 时， $f (x) = - 2 x^{2} - 8 x - 7$ ，则方程 $f (x) = - \frac{1}{2}$ 的所有根之和等于（）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、0 D、2

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二、多选题

9. 下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ 与 $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ B、 $f (t) = | t + 1 |$ 与 $g (x) = \sqrt{(x + 1)^{2}}$ C、 $f (x) = x (x > 0)$ 与 $g (x) = 3^{l o g_{3} x}$ D、 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 与 $g (x) = x + 1$

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10. 若正实数 $m ， n$ 满足 $m + n = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\sqrt{m n}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为4 D、 $m^{2} + n^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$

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11. 以下运算中正确的是（）

A、若 $l g 2 = m ， l g 3 = n$ ，则 $l o g_{5} 24 = \frac{3 m + n}{1 - m}$ B、 ${(\frac{1}{3})}^{- l o g_{3} 8} - 3 l n (l n e^{e}) = 5$ C、若 $a + a^{- 1} = 14$ ，则 $a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} = \pm 4$ D、 $\sqrt[4]{(4 - 2 \sqrt{3})^{2}} + 2 l o g_{2} 3 \cdot l o g_{9} 4 = \sqrt{3} + 1$

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12. 若 $a - \frac{1}{2} < x \leq a + \frac{1}{2}$ （其中a为整数， $x ∈ R$ ），则把整数a叫做离实数x最近的整数，并用符号“ ${x} = a$ ”表示“离实数x最近的整数为a”.设函数 $f (x) = | {x} - x |$ ，下列结论正确的为（）

A、 ${\frac{1}{2}} = {- \frac{1}{2}} = 0$ B、 $f (\sqrt{2}) = f (- \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1$ C、函数 $f (x)$ 为偶函数且其值域为 $[0 ， \frac{1}{2})$ D、函数 $f (x)$ 图象的对称轴方程为 $x = \frac{m}{2} (m \in Z)$

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三、填空题

13. 某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为（元）.

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14. 设 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} \in R$ ，且满足 ${x_{i} \cdot x_{j} | 1 \leq i < j \leq 4$ 且 $i ， j \in N} = {- 18 ， - 3 ， - 1 ， - \frac{1}{6} ， \frac{1}{2} ， 6}$ ，则 $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4} =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 a - 1) x + 4 a ， x < 1 \\ - a {(x + 1)}^{2} + 1 ， x \geq 1 \end{array}$ ，若函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 若 $3 m > n > 0$ ，则 $\frac{n}{3 m - n} + \frac{m}{n}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 计算下列各式的值.

(1)、 ${(- \frac{8}{7})}^{0} - 1 6^{\frac{3}{4}} - {(- \frac{3}{2})}^{- 2} \cdot {(3 \frac{3}{8})}^{\frac{2}{3}} + {[(- 3)^{4}]}^{\frac{1}{2}}$ ；

(2)、 $4 l g 5 + l g 16 + 2 l n \sqrt[3]{e} - 3^{- 1 + l o g_{3} 2}$ .

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18. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 1 - \frac{3}{x + 1} < 0} ， B = {x | x \geq 0}$ ， $C = {x | x^{2} - 2 (m + 1) x + m (m + 2) \leq 0}$ .

(1)、求 $∁_{U} A$ 和 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup C = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 设命题 $p ： \exists x \in R ， x^{2} + 2 a x - (a - 2) \leq 0$ ，命题 $q ： \forall x \in [- 1 ， \frac{5}{2}] ， x^{2} - 2 x \geq a$ .

(1)、若命题p为真命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若命题p，q为一真一假，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 若函数 $f (x) = \frac{a x}{(2 x + 3) (2 x - a)} (a \neq 0)$ 是定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的奇函数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、用定义证明：函数 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上是递减函数；

(3)、若 $f (3 + 3 t) + f (t) < 0$ ，求实数t的范围.

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21. 金坛某企业为紧抓新能源发展带来的历史性机遇，决定开发一款锂电池生产设备.生产此设备的年固定成本为300万元，且每生产 $x$ 台 $(x \in N^{*})$ 需要另投入成本 $c (x)$ （万元），当年产量 $x$ 不足45台时， $c (x) = \frac{1}{3} x^{2} + 40 x - 450$ （万元）；当年产量 $x$ 不少于45台时， $c (x) = 61 x + \frac{3600}{x + 2} - 1310$ （万元）.经过市场调查和分析，若每台设备的售价定为60万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完.

(1)、求年利润 $y$ （万元）关于年产量 $x$ （台）的函数关系式；

(2)、年产量 $x$ 为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？

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22. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c \in R ， a \neq 0)$ 满足以下①②③三个条件：
①当 $x ∈ R$ 时， $f (x + 2) = f (- x)$ ，
②当 $x \in [- 1 ， 1]$ 时， $- 2 x \leq f (x) \leq - x + 1$ ，
③当 $x ∈ R$ 时， $f (x)_{m i n} = 0$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析表达式；

(2)、若存在实数 $t$ ，使得当 $x \in [- 1 ， m] (m > - 1)$ 时，都有 $f (x + t) \leq - x + 1$ 成立，则求符合条件的 $m$ 的最大值.

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$x$	1	0	$- 1$
$f (x)$	$- 1$	0	1
$x$	3	2	1
$g (x)$	$- 1$	1	0