福建省福州市八县（市）协作校2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {a ， 6}$ ， $B = {3 ， 4 ， 5}$ ， $A \cap B = {4}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${4}$ B、 ${4 ， 6}$ C、 ${3 ， 4 ， 5}$ D、 ${3 ， 4 ， 5 ， 6}$

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2. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{x}$ 的定义域为（）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $[- 1 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， 0)$ D、 $[- 1 ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$

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3. 命题“ $\forall x > 0 ， x^{2} - 1 > - 1$ ”的否定是（）

A、 $\forall x > 0 ， x^{2} - 1 \leq - 1$ B、 $\forall x < 0 ， x^{2} - 1 > - 1$ C、 $\exists x > 0 ， x^{2} - 1 \leq - 1$ D、 $\exists x \leq 0 ， x^{2} - 1 > - 1$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - \sqrt{x + 1} ， x \geq 0 \\ {(x - \frac{1}{x})}^{2} ， x < 0 \end{array}$ ，则 $f (f (3))$ =（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、4 D、 $\frac{64}{9}$

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5. 不等式 $\frac{x - 2}{x} < 0$ 成立的一个必要不充分条件是（）

A、 $x > 0$ B、 $0 < x < 1$ C、 $x < 0$ 或 $x > 2$ D、 $0 < x < 2$

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6. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 1$ 在区间（2，3）内不单调，则a的取值范围是（）

A、 $a < 2$ 或 $a > 3$ B、 $2 < a < 3$ C、 $a < - 3$ 或 $a > - 2$ D、 $- 3 ≤ a ≤ - 2$

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7. 不等式 $f (x) = a x^{2} + b x + 2 > 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 2}$ ，则函数 $y = f (- x)$ 的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [1 ， + \infty) (x_{1} \neq x_{2})$ ，有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ ，且 $f (x + 1)$ 是偶函数，不等式 $f (m + 1) \geq f (2 m)$ 恒成立，则实数m的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{2}]$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $[\frac{1}{3} ， 1]$ D、 $[- \frac{1}{3} ， 1]$

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二、多选题

9. 下列四个命题中不正确的是（）

A、 $0 \in \emptyset$ B、 $y = \frac{1}{x}$ 是定义域上的减函数 C、 $y = 1$ 和 $y = x^{0}$ 表示同一个函数 D、幂函数的图象都过点（1，1）

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10. 若 $b < a < 0$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $b c^{2} < a c^{2}$ B、 $| b | > | a |$ C、 $a - b > a b$ D、 $a b < b^{2}$

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11. 若 $a > 0 ， b > 0 ， a + b = 2$ ，则下列不等式对一切满足条件的 $a ， b$ 恒成立的是（）

A、 $a b \leq 1$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq 2$ D、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} \geq 3$

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12. 一般地，若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[a ， b]$ ，值域为 $[k a ， k b]$ ，则称 $[a ， b]$ 为 $f (x)$ 的“k倍跟随区间”；特别地，若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[a ， b]$ ，值域也为 $[a ， b]$ ，则称 $[a ， b]$ 为 $f (x)$ 的“跟随区间”.下列结论正确的是（）

A、若 $[0 ， b]$ 为 $f (x) = x^{2}$ 的跟随区间，则b=1 B、函数 $f (x) = 1 + \frac{1}{x}$ 存在跟随区间 C、若函数 $f (x) = m - \sqrt{x - 1}$ 存在跟随区间，则 $m \in (\frac{7}{4} ， 2]$ D、二次函数 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x$ 存在“2倍跟随区间”

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三、填空题

13. 若函数 $f (x + 2) = x^{2} + x$ ，则 $f (2)$ =.

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14. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m + 1}$ 是奇函数，则实数m的值为.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + 5 ， x \leq 1 \\ \frac{a}{x} ， x > 1 \end{array}$ 是R上的减函数，则a的取值范围为.

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16. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数 $y = [x] ， x \in R$ 称为高斯函数，其中 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，设 ${x} = x - [x]$ ，则满足方程 $2 {x} = 1 + \frac{2}{x}$ 的所有解之和为.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x \leq - 1$ 或 $x \geq 5}$ ， $B = {x | 2 a \leq x \leq a + 2}$

(1)、若 $a = - 1$ ，求 $(∁_{R} A) \cap B$

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数a的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + a$

(1)、若对任意的 $x \in R ， f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 在区间 $[0 ， 3]$ 上的最大值为 $a^{2} - 3$ ，求实数a的值.

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19. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 4 x ， x \leq 0 \\ - 2 x + 4 ， x > 0 \end{array}$

(1)、在下图所示的平面直角坐标系中，做出函数 $y = f (x)$ 的图像，并根据图像写出该函数的单调区间与值域（无需证明）；

(2)、若 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，且 $a ， b ， c$ 互不相等，求 $a + b + c$ 的取值范围.

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20. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费为 $y_{1}$ （单位：万元），仓库到车站的距离为x（单位：千米），其中 $y_{1}$ 与 $x + 1$ 成反比，每月库存货物费 $y_{2}$ （单位：万元）与 $x$ 成正比；若在距离车站3千米处建仓库，则 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 分别为5万元和15万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{x + a}{x^{2} + b}$ 为奇函数，且 $f (1) = \frac{1}{5}$

(1)、求a，b的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 5]$ 上的单调性，并用定义加以证明；

(3)、求 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 5]$ 上的值域.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (t + 1) x + 2 t - 1$ ， $g (x) = | x - 1 |$ ，函数 $F (x) = m i n {f (x) ， g (x)}$ ，其中 $m i n {p ， q} = {\begin{array}{l} p ， p \leq q \\ q ， p > q \end{array}$ .

(1)、若 $f (1) = 2$ ，求实数t的值；

(2)、若 $t \geq 5$ ，
①求使得 $F (x) = f (x)$ 成立的x的取值范围；
②求 $F (x)$ 在区间 $[0 ， 8]$ 上的最大值 $M (t)$ .

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