2022~2023学年中考数学一轮复习专题06图形的相似（基础）

试卷更新日期：2022-11-24 类型：一轮复习

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一、比例线段

1. 已知 $\frac{x}{x + y} = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{y}{x}$ ＝（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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2. 若 $a : b = 3 : 4$ ，且 $a + b = 14$ ，则 $2 a - b$ 的值是（）

A、4 B、2 C、20 D、14

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3. 若长度为 $6 c m$ ， $3 c m$ ， $8 c m$ ， $a c m$ 的四条线段是成比例线段，则 $a$ 的值为（）

A、2 B、4 C、16 D、3

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4. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，如果 $A B = 3 ， B C = 5 ， E F = 4$ ，那么DE的长是（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{32}{5}$ C、 $\frac{20}{3}$ D、 $\frac{32}{3}$

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5. 如图，点D为 $△ A B C$ 边 $A B$ 上任一点， $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于点E，连接 $B E 、 C D$ 相交于点F，则下列等式中不成立的是（）

A、 $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ B、 $\frac{D E}{B C} = \frac{D F}{F C}$ C、 $\frac{D E}{B C} = \frac{A E}{E C}$ D、 $\frac{E F}{B F} = \frac{A E}{A C}$

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6. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E ，交AD于点F ，交CD的延长线于点G ，若AF＝2FD ，则 $\frac{B E}{E G}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B、C重合），连接AM交DE于点N，则（）

A、 $\frac{A D}{A N} = \frac{A N}{A E}$ B、 $\frac{B D}{M N} = \frac{M N}{C E}$ C、 $\frac{D N}{B M} = \frac{N E}{M C}$ D、 $\frac{D N}{M C} = \frac{N E}{B M}$

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8. 如图，在 $Δ A B C$ 中，D在AC边上， $A D ： D C ＝ 1 ： 2$ ，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则 $B E ： E C ＝$ （）

A、1：2 B、1：3 C、1：4 D、2：3

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9. 如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（）

A、3：2 B、4：3 C、6：5 D、8：5

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10. 如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则 $\frac{A G}{G F}$ 的值是（）

A、 B、 C、 D、

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二、位似图形

11. 观察下列图形，这四组形状各异的图形中，是相似图形的有（）

A、1组 B、2组 C、3组 D、4组

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12. 下列说法正确的是（）

A、位似图形可以通过平移得到 B、相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形 C、位似图形的位似中心不只有一个 D、位似中心到对应点的距离之比都相等

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13. 若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（）

A、增加了10% B、减少了10% C、增加了（1+10%） D、没有改变

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14.
如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶ $\sqrt{2}$ ，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（） ．

A、( $\sqrt{2}$ ， 0) B、( $\frac{3}{2}$ ， $\frac{3}{2}$ ) C、( $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{2}$ ) D、(2，2)

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15. 如图，以点O为位似中心，作四边形 $A B C D$ 的位似图形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ﹐已知 $\frac{O A}{O A^{'}} = \frac{1}{3}$ ，若四边形 $A B C D$ 的面积是2，则四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的面积是（）

A、4 B、6 C、16 D、18

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16. 如图，△ABC 与△DEF 位似，点 O 是它们的位似中心，且相似比为 1：2，则△ABC 与△DEF 的周长之比是（）

A、1：2 B、1：4 C、1：3 D、1：9

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17. 如图，△ABC与△DEF位似点О为位似中心，相似比为2：3.若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（ )

A、4 B、6 C、9 D、16

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三、相似的性质

18. 若 $△ A B C \sim △ D E F$ ， $B C = 6$ ， $E F = 4$ ，则 $\frac{A C}{D F} =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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19. △ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形 DEF ，其最长边为12，则 △DEF的周长是（）

A、54 B、36 C、27 D、21

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20. 已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（）

A、3：5 B、9：25 C、5：3 D、25：9

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21. 如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是（）

A、 $\frac{B C}{D F}$ = $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{∠ A 的度数}{∠ D 的度数}$ = $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{△ A B C 的面积}{△ D E F 的面积}$ = $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{△ A B C 的周长}{△ D E F 的周长}$ = $\frac{1}{2}$

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22. 如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（　　）

A、2：3 B、 $\sqrt{2}$ ： $\sqrt{3}$ C、4：9 D、8：27

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23.
如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的.矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，那么 $\frac{A B}{A D}$ 等于（　　）.

A、0.618 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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24. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上， $A C$ 与 $B D$ 相交于点E，连接 $A B ， C D$ ，则 $△ A B E$ 与 $△ C D E$ 的周长比为（）

A、1：4 B、4：1 C、1：2 D、2：1

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四、相似的判定

25. 如图，点 $A (0 ， 3) 、 B (1 ， 0)$ ，将线段 $A B$ 平移得到线段 $D C$ ，若 $∠ A B C = 90 ° ， B C = 2 A B$ ，则点D的坐标是（）

A、 $(7 ， 2)$ B、 $(7 ， 5)$ C、 $(5 ， 6)$ D、 $(6 ， 5)$

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26. $△ A B C$ 的边上有 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 三点，各点位置如图所示.若 $∠ B = ∠ F A C$ ， $B D = A C$ ， $∠ B D E = ∠ C$ ，则根据图中标示的长度，求四边形 $A D E F$ 与 $△ A B C$ 的面积比为何？（）

A、1：3 B、1：4 C、2：5 D、3：8

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27. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（）

A、∠AED=∠B B、 $\frac{A D}{A C} = \frac{A E}{A B}$ C、AD·BC= DE·AC D、DE//BC

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28. 如图，等边 $△ A B C$ 中，点E是 $A B$ 的中点，点D在 $A C$ 上，且 $D C = 2 D A$ ，则（）

A、 $△ A E D ∽ △ B E D$ B、 $△ A E D ∽ △ C B D$ C、 $△ A E D ∽ △ A B D$ D、 $△ B A D ∽ △ B C D$

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29. 如图，已知点D是 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上的一点，根据下列条件，可以得到 $△ A B C ∼ △ B D C$ 的是（）

A、 $A B \cdot C D = B D \cdot B C$ B、 $A C \cdot C B = C A \cdot C D$ C、 $B C^{2} = A C \cdot D C$ D、 $B D^{2} = C D \cdot D A$

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30. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A₁B₁C₁相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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31. 已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注，对于各组中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）

A、都相似 B、都不相似 C、只有①相似 D、只有②相似

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32. 已知在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 78 °$ ， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ，下列阴影部分的三角形与原 $△ A B C$ 不相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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33. 如图，如果 $∠ B A D = ∠ C A E$ ，那么添加下列一个条件后，仍不能确定 $△ A B C$ ∽ $△ A D E$ 的是（）

A、 $∠ B = ∠ D$ B、 $\frac{A B}{A D} = \frac{D E}{B C}$ C、 $∠ C = ∠ A E D$ D、 $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E}$

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34. 如图， $△ A B C$ ， $A B = 12$ ， $A C = 15$ ， D为 $A B$ 上一点，且 $A D = 8$ ，在 $A C$ 上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与 $A B C$ 相似，则 $A E$ 等于（）

A、 $\frac{32}{5}$ 或 $\frac{15}{2}$ B、10或 $\frac{15}{2}$ C、 $\frac{32}{5}$ 或10 D、以上答案都不对

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35. 如图，已知∠1＝∠2，添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　）

A、∠C＝∠AED B、∠B＝∠D C、 $\frac{A B}{A D} = \frac{B C}{D E}$ D、 $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E}$

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五、黄金分割

36. 秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，下列估算正确的是（）

A、 $0 < \frac{\sqrt{5} - 1}{2} < \frac{2}{5}$ B、 $\frac{2}{5} < \frac{\sqrt{5} - 1}{2} < \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{5} - 1}{2} < 1$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} > 1$

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37. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段 $M N$ 分为两线段 $M G$ ， $G N$ ，使得其中较长的一段 $M G$ 是全长 $M N$ 与较短的段 $G N$ 的比例中项，即满足 $\frac{M G}{M N} = \frac{G N}{M G} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，后人把 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段 $M N$ 的“黄金分割”点．如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = A C = 3$ ， $B C = 4$ ，若D ， E是边 $B C$ 的两个“黄金分割”点，则 $△ A D E$ 的面积为（）

A、 $10 - 4 \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{5} - 5$ C、 $\frac{5 - 2 \sqrt{5}}{2}$ D、 $20 - 8 \sqrt{5}$

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38. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身 $b$ 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中 $b$ 为2米，则a约为（）

A、1.24米 B、1.38米 C、1.42米 D、1.62米

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39. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ （ $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为 $108 cm$ ，则小凡的身高约为（）

A、 $155 cm$ B、 $165 cm$ C、 $175 cm$ D、 $185 cm$

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40. 宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ （约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形 $A B C D$ ，分别取 $A D ， B C$ 的中点 $E ， F$ ，连接 $E F$ ，以点F为圆心，以 $F D$ 为半径画弧，交 $B C$ 的延长线于点G；作 $G H ⊥ A D$ ，交 $A D$ 的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）

A、矩形ABEF B、矩形EFCD C、矩形EFGH D、矩形ABGH

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41. 已知AB＝2，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP＞BP，则AP的长为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ D、 $3 - \sqrt{5}$

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42. 已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（）

A、AB²＝AC²+BC² B、BC²＝AC•BA C、 $\frac{B C}{A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{A C}{B C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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六、相似的应用

43. 如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：

(1)、∠CAE=∠BAF；

(2)、CF·FQ=AF·BQ

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44.

(1)、【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

(2)、【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出 $\frac{B D}{C E}$ 的值．

(3)、【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 $\frac{A B}{B C}$ ＝ $\frac{A D}{D E}$ ＝ $\frac{3}{4}$ ．连接BD，CE．
①求 $\frac{B D}{C E}$ 的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

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45. 如图，正方形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，点E为 $A B$ 的中点，连接 $C E$ 交 $B D$ 于点F，延长 $C E$ 交 $⊙ O$ 于点G，连接 $B G$ .

(1)、求证： $F B^{2} = F E \cdot F G$ ；

(2)、若 $A B = 6$ .求 $F B$ 和 $E G$ 的长.

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46. 如图 $C D$ 是 $⊙ O$ 直径，A是 $⊙ O$ 上异于C，D的一点，点B是 $D C$ 延长线上一点，连接 $A B$ 、 $A C$ 、 $A D$ ，且 $∠ B A C = ∠ A D B$ ．

(1)、求证：直线 $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B C = 2 O C$ ，求 $t a n ∠ A D B$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，作 $∠ C A D$ 的平分线 $A P$ 交 $⊙ O$ 于P，交 $C D$ 于E，连接 $P C$ 、 $P D$ ，若 $A B = 2 \sqrt{6}$ ，求 $A E \cdot A P$ 的值．

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