山东省淄博市高青县2022-2023学年八年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-11-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列各式中，是分式的是（）

A、a＋b B、 $\frac{a + b}{2}$ C、 $\frac{a + b}{π}$ D、 $\frac{1}{a + b}$

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2. 一组数据2，4，5，3，2的中位数是（）

A、5 B、3.5 C、3 D、2.5

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3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A、 $(x + 3) (x - 3) = x^{2} - 9$ B、 $x^{2} - 9 + x = (x + 3) (x - 3) - x$ C、 $x y^{2} - x^{2} y = x y (y - x)$ D、 $x^{2} + 5 x + 4 = x (x + 5) + 4$

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4. 若分式 $\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 的值为0，则x的值是（）

A、1 B、0 C、 $- 1$ D、±1

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5. 若一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数为（）

A、5 B、6 C、5.5 D、6.5

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6. 在计算 $\frac{m^{2}}{m + 1}$ ÷ $\frac{\emptyset}{m + 1}$ 时，把运算符号“÷”看成了“+”，计算结果是m，则这道题的正确的结果是（　　）

A、 $\frac{1}{m - 1}$ B、 $\frac{1}{m}$ C、m-1 D、m

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7. 随着电影《你好，李焕英》热映，其同名小说的销量也急剧上升．某书店分别用400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多1倍，且第二次比第一次进价便宜4元，设书店第一次购进x套，根据题意，下列方程正确的是（）

A、 $\frac{400}{x} - \frac{600}{2 x} = 4$ B、 $\frac{600}{x} - \frac{400}{2 x} = 4$ C、 $\frac{400}{2 x} - \frac{600}{x} = 4$ D、 $\frac{600}{2 x} - \frac{400}{x} = 4$

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8. 如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a²b+ab²的值为（）

A、80 B、160 C、320 D、480

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9. 已知 $x - y = 2$ ， $x y = \frac{1}{2}$ ，那么 $x^{3} y + x^{2} y^{2} + x y^{3}$ 的值为（）

A、3 B、5 C、 $\frac{11}{2}$ D、 $\frac{11}{4}$

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10. 若关于x的方程 $\frac{a}{x + 1} + 1 = \frac{x + a}{x - 1}$ 的解为负数，且关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} - \frac{1}{2} (x - a) > 0 \\ x - 1 \geq \frac{2 x - 1}{3} \end{array}$ 无解，则所有满足条件的整数a的值之积是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

11. 分解因式： $x^{3} - x y^{2} =$ .

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12. 多项式 $x^{2} + m x + 6$ 因式分解得 $(x - 2) (x + n)$ ，则m= ．

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13. 若 $x - y - 3 = 0$ ，则代数式 $x^{2} - y^{2} - 6 y$ 的值等于．

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14. 如果有一组数据-2，0，1，3，x的极差是6，那么x的值是．

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15. 已知关于x的分式方程 $\frac{x}{x - 1} = \frac{m}{2 x - 2} + 3$ 的解是非负数，则m的取值范围是.

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三、解答题

16. 因式分解：

(1)、3x²-6xy+3y²

(2)、(a-b)²-a+b

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17. 解方程：

(1)、 $\frac{x}{2 x - 3} + \frac{5}{3 - 2 x} = 4$ ；

(2)、 $\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x + 1} = \frac{4}{x^{2} - 1}$ ．

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18. 先化简，再求值：

(1)、 $\frac{4 x^{2} - 1}{2 - 4 x} \div \frac{4 x^{2} + 4 x + 1}{x}$ ，其中 $x = - \frac{1}{4}$ ．

(2)、 $(1 - \frac{2 x + 1}{x + 2}) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 4}$ ，其中 $x = 3$ ．

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19. 某中学为了解学生参加户外活动的情况，随机调查了该校部分学生每周参加户外活动的时间，并用得到的数据绘制了如下统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、这次调查的学生共人，并补全条形统计图；

(2)、求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

(3)、若该校共有1500名学生，估计该校参加户外活动时间超过3小时的学生人数．

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20. 简答下列各题：

(1)、已知a²＋b²＝2，ab＝1，求a＋b和a－b的值；

(2)、若a＋ $\frac{1}{a}$ ＝3，那么a²＋ $\frac{1}{a^{2}}$ ＝；若a－ $\frac{1}{a}$ ＝3，那么a⁴＋ $\frac{1}{a^{4}}$ ＝．

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21. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱，各种冰墩墩的玩偶，挂件等饰品应运而生．某学校决定购买A，B两种型号的冰墩墩饰品作为“校园读书节”活动奖品，已知A种比B种每件多20元，预算资金为1600元；

(1)、其中700元购买A种商品，其余资金购买B种商品，且购买B种的数量是A种的3倍．求A，B两种饰品的单价．

(2)、购买当日，正逢“五一”大促销，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：在不超过预算资金的前提下，准备购买A，B两种饰品共120件；问最多购买A种饰品多少件?

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22. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，请解答下列问题：

(1)、写出图2中所表示的数学等式；

(2)、根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；

(3)、若 $a + b + c = 10$ ， $a b + a c + b c = 35$ ，利用得到的结论，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的值．

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23. 探究题：

(1)、问题情景：将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：
$x^{2} + 6 x + 9 =$ ； $x^{2} - 4 x + 4 =$ ； $4 x^{2} - 20 x + 25 =$ ；

(2)、探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现： $6^{2} = 4 \times 1 \times 9$ ； $(- 4)^{2} = 4 \times 1 \times 4$ ； $(- 20)^{2} = 4 \times 4 \times 25$ ；
归纳猜想：若多项式 $a x^{2} + b x + c (a > 0 ， c > 0)$ 是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式为．

(3)、验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论．

(4)、解决问题：若多项式 $(n + 1) x^{2} - (2 n + 6) x + (n + 6)$ 是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n的值．

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