浙江省杭州市拱墅区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-11-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列事件中，属于必然事件的是（）

A、在一个只装有白球和黑球的袋中摸出红球 B、一个三角形三个内角的和小于180° C、若 $a$ 是实数，则 $a^{2} \geq 0$ D、在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交

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2. 如图，点 $A ， B ， C$ 在 $⊙ O$ 上，若 $∠ B A C = 40 °$ ，则 $∠ B O C =$ （）

A、40° B、50° C、70° D、80°

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3. 将函数 $y = - x^{2}$ 的图象向上平移2个单位，所得图像对应的函数表达式是（）

A、 $y = - x^{2} + 2$ B、 $y = - x^{2} - 2$ C、 $y = - {(x + 2)}^{2}$ D、 $y = - {(x - 2)}^{2}$

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4. 如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，与其相似的另一个三角形的周长为36，则它的最长边的长为（）

A、8 B、12 C、16 D、20

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6. 如图，在 $Δ A B C$ 中，点 $D ， E$ 分别在 $A B ， A C$ 边上， $D E ∥ B C$ .若 $A D = 2 E C ， B D = 3 ， A E = 4$ ，则 $C E =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{6}$ C、3 D、 $2 \sqrt{6}$

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7. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 为边 $A B$ 的中点，以点 $A$ 为圆心，线段 $A D$ 的长为半径画弧，与 $A C$ 边交于点 $E$ ；以点 $B$ 为圆心，线段 $B D$ 的长为半径画弧，与 $B C$ 边交于点 $F$ .若 $B C = 6 ， A C = 8$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $48 - \frac{25 π}{2}$ B、 $48 - \frac{25 π}{4}$ C、 $24 - \frac{25 π}{2}$ D、 $24 - \frac{25 π}{4}$

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8. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A E$ 是 $⊙ O$ 的直径.若 $⊙ O$ 的半径为6， $∠ A D C - ∠ A B C = 40 °$ ，则 $\overset{⌢}{C E}$ 的长度为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{4 π}{3}$ C、 $\frac{7 π}{3}$ D、 $\frac{8 π}{3}$

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9. 已知点（-1，y₁），（1，m），（2，y₂），（3，n），（4，y₃）在二次函数y＝x²+ax（a是常数）的图像上，若mn＜0，则（）

A、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ C、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ D、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B < B C$ ，点 $E ， F$ 分别在 $C D ， A D$ 边上，且 $Δ B C E$ 与 $Δ B F E$ 关于直线 $B E$ 对称.点 $G$ 在 $A B$ 边上， $G C$ 分别与 $B F ， B E$ 交于 $P ， Q$ 两点.若 $\frac{A B}{B C} = \frac{4}{5}$ ， $C E = C Q$ ，则 $\frac{G P}{C Q} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{9}{10}$

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二、填空题

11. 计算cos60°= ．

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12. 若二次函数 $y = a x^{2} (a \neq 0)$ 的图象过点 $(2 ， - 8)$ ，则 $a$ 的值是.

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13. 有一枚质地均匀的骰子，骰子各个面上的点数分别为1－6，任意抛掷这枚骰子，朝上面的点数大于2的概率是.

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14. 如图是用卡钳测量容量内径的示意图.若卡钳上 $A ， D$ 两端点的距离为 $6 c m$ ， $\frac{A O}{B O} = \frac{D O}{C O} = \frac{3}{5}$ ，则容器的内径 $B C$ 的长为 $c m$ .

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15. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为 $5 c m$ ，瓶内原有液体的最大深度 $C D = 4 c m$ .部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为 $2 c m$ ，则截面圆中弦 $A B$ 的长减少了 $c m$ （结果保留根号）.

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16. 设二次函数y＝ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x、y的部分对应值.

x	…	-5	-3	1	2	3	…
y	…	-2.79	m	-2.79	0	n	…

则不等式ax²+bx+c＜0的解集是，方程ax²+bx+c＝m的解是.

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三、解答题

17. 一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其他差别.

(1)、从布袋里任意摸出一个小球，求上面的数字恰好是“3”的概率.

(2)、从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为3的概率.（要求列表或画树状图说明）

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18. 如图，测得两楼之间的水平距离为 $32 m$ ，从楼顶点 $A$ 观测点 $D$ 的俯角为45°，观测点 $C$ 的俯角为58°.分别求这两幢楼的高度（结果精确到 $1 m$ ）.参考数据： $s i n 58 ° \approx 0.85 ， c o s 58 ° \approx 0.53 ， t a n 58 ° \approx 1.60$ .

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19. 一个斜抛物体的水平运动距离记为 $x (m)$ ，对应的高度记为 $h (m)$ ， $h$ 与 $x$ 之间具有函数关系 $h = a x^{2} + b x + 2$ （ $a ， b$ 常数， $a \neq 0$ ）.已知当 $x = 2$ 时， $h = 9$ ；当 $x = 4$ 时， $h = 14$ .

(1)、求 $h$ 关于 $x$ 的函数表达式；

(2)、求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平运动距离.

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20. 图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ，连接 $A D ， B D$ .

(1)、求证： $∠ A D C = ∠ A B D$ ；

(2)、作 $O F ⊥ A D$ 于点 $F$ ，若 $⊙ O$ 的半径为5， $O E = 3$ ，求 $O F$ 的长.

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21. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ 是 $C D$ 延长线上一点， $B E$ 与 $A D$ 交于点 $F$ .

(1)、求证： $Δ A B F ∼ Δ C E B$ ；

(2)、设 $Δ D E F$ 和 $▱ A B C D$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，若 $\frac{E D}{D C} = \frac{2}{3}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.

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22. 在直角坐标系中，设函数 $y = (x - m) (x - n)$ （m、n是实数）.

(1)、当 $m = 1$ 时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数的表达式.

(2)、若 $n = m - 1$ ，且当 $x ≤ - 2$ 时，y随x的增大而减小，求m的取值范围.

(3)、若该函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a，b是实数），当 $2 \leq m < n \leq 3$ 时.求证： $0 < a b < 4$ .

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23. 如图，在锐角三角形 $A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $B C$ 为直径的 $⊙ O$ 分别交 $A B ， A C$ 于点 $D ， E$ ，连接 $O D ， O E ， D E$ .

(1)、若 $∠ A = 50 °$ ，求 $\overset{⌢}{D E}$ 的度数；

(2)、求证： $D E ∥ B C$ ；

(3)、若 $⊙ O$ 半径为 $m$ ， $t a n ∠ A B C = 2$ ，求四边形 $A D O E$ 的面积（用含 $m$ 的代数式表示）.

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