浙江省杭州市滨江区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-11-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图形一定是相似图形的是（）

A、两个菱形 B、两个矩形 C、两个等腰三角形 D、两个正三角形

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2. 若 $2 a = 3 b$ ，则 $\frac{a}{b}$ ＝（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、－ $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、－ $\frac{2}{3}$

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3. 关于二次函数 $y = (x + 1)^{2} - 2$ 的最大值或最小值，下列叙述正确的是（）

A、当 $x$ ＝1时，y有最大值－2 B、当 $x$ ＝－1时，y有最小值－2 C、当 $x$ ＝1时，y有最小值－2 D、当 $x$ ＝－1时，y有最大值－2

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4. 一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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5. 下列说法正确的是（）

A、可能性很小的事件不可能发生 B、可能性很大的事件必然发生 C、必然事件发生的概率1 D、不确定事件发生的概率为 $\frac{1}{3}$

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6. 在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，且 $\frac{AD}{DB}$ ＝4，则 $\frac{DE}{BC}$ ＝（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{6}$

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7. 要得到函数 $y = - (x - 2)^{2} + 3$ 的图象，可以将函数 $y = - (x - 3)^{2}$ 的图象（）

A、向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B、向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C、向左平移1个平位，再向上平移3个单位 D、向左平移1个单位，再向下平移3个单位

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8. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且 $A C > B C$ ，若AB＝2，则BC＝（）

A、 $3 - \sqrt{5}$ B、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ －1 D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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9. 已知，线段AB＝2，点C为平面上一点，若 $∠ A C B = 3 0^{∘}$ ，则线段AC的最大值是（）

A、2 B、2 $\sqrt{3}$ C、4 D、 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$

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10. 在平面直角坐标系中，设函数 $y = a x^{2} + (a - 1) x - 1$ （a是常数， $a \neq 0$ ）.
①无论a取何值，该函数图象必定经过两个定点.
②如果在 $- 1 < x < 0$ 时，始终有y随x的增大而减小，则 $- 1 \leq a \leq 1$ 且 $a \neq 0$ .
则（）

A、①正确，②正确 B、①正确，②错误 C、①错误，②正确 D、①错误，②错误

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二、填空题

11. 两地的实际距离是1200千米，在地图上量得这两地的距离为2厘米，则这幅地图的比例尺是1∶.

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12. 有两辆车按1、2编号，张，李两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐1号车的概率是.

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13. 函数 $y = {(x - 2)}^{2} - (x - 2)$ 图象的对称轴是.

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14. 如图，在⊙O中，若 $∠ B A C = 2 4^{∘}$ ， $∠ A C B = 4 2^{∘}$ ，则∠ACO＝.

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15. 已知扇形的面积为 $24 π$ cm² ，圆心角为 $21 6^{∘}$ ，则该扇形的弧长是.

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16. 如图，点E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE.将△ABE绕着点A逆时针旋转到△AFG的位置（点F在正方形ABCD内部），连接DG.若AB＝10，BE＝6，DG∥AF，则CH＝.

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三、解答题

17. 在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球.若模到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，摸到一个黄球奖励一个“莲莲”.一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，求得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率.

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18. 设二次函数 $y = a x^{2} + b x - 3$ （a，b是常数， $a \neq 0$ ），部分对应值如下表：
$x$
…
$- 2$
$- 1$
$0$
$1$
$2$
…
$y$
…
$5$
$0$
$- 3$
$- 4$
$- 3$
…

(1)、试判断该函数图象的开口方向；

(2)、当 $x = 4$ 时，求函数y的值；

(3)、根据你的解题经验，直接写出 $a x^{2} + b x - 3 < - 3$ 的解.

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19. 如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边 $A C$ 上一点，且满足 $∠ A D E = ∠ B$ .

(1)、证明： $Δ A D B ∼ Δ A E D$ ；

(2)、若 $A E = 3$ ， $A D = 5$ ，求AB的长.

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20. 某宾馆有240间标准房，当标准房价格150元时，每天都客满，市场调查表明，当房价在150~225元之间（含150元，225元）浮动时，每提高25元，日均入住客房数减少20间.如果不考虑其它因素，宾馆将标准房价格提高到多少元时，客房的日营业收入最大？

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21. 如图，在⊙O中， $A B = C D$ ，弦AB与CD相交于点M.

(1)、求证： $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{B D}$ .

(2)、连接AC，AD，若AD是⊙O的直径.求证： $∠ B A C + 2 ∠ B A D = 9 0^{∘}$ .

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22. 在平面直角坐标系中，设二次函数 $y = a x^{2} + b x + 2$ （a，b是常数， $a \neq 0$ ）.

(1)、若 $a = 1$ ，当 $x = - 1$ 时， $y = 4$ .求y的函数表达式.

(2)、写出一题a，b的值，使函数 $y = a x^{2} + b x + 2$ 的图象与x轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标.

(3)、已知，二次函数 $y = a x^{2} + b x + 2$ 的图象和直线 $y = a x + 4 b$ 都经过点（2，m），求证 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ .

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23. 已知，锐角三角形ABC内接于⊙O.

(1)、如图1，当点A是 $\overset{⌢}{B A C}$ 的中点时，
①求证： $A O ⊥ B C$ .
②若 $B C$ ＝8， $A B = 4 \sqrt{5}$ ，求⊙O的半径.

(2)、如图2，当 $A B > A C$ 时，连接 $B O$ 并延长，交边AC于点D.若 $∠ A = 4 5^{∘}$ ， $\frac{O D}{O B} = \frac{2}{3}$ ，求 $\frac{A D}{D C}$ .

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24. 在直角坐标系中，设函数 $y = (x - m) (x - n)$ （m、n是实数）.

(1)、当 $m = 1$ 时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数的表达式.

(2)、若 $n = m - 1$ ，且当 $x ≤ - 2$ 时，y随x的增大而减小，求m的取值范围.

(3)、若该函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a，b是实数），当 $2 \leq m < n \leq 3$ 时.求证： $0 < a b < 4$ .

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25. 如图，在锐角三角形 $A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $B C$ 为直径的 $⊙ O$ 分别交 $A B ， A C$ 于点 $D ， E$ ，连接 $O D ， O E ， D E$ .

(1)、若 $∠ A = 50 °$ ，求 $\overset{⌢}{D E}$ 的度数；

(2)、求证： $D E ∥ B C$ ；

(3)、若 $⊙ O$ 半径为 $m$ ， $t a n ∠ A B C = 2$ ，求四边形 $A D O E$ 的面积（用含 $m$ 的代数式表示）.

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$x$	…	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	…
$y$	…	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	…