重庆市九龙坡区2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点到准线的距离是（）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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2. 在空间直角坐标系中，若 $A (1 ， 1 ， 0)$ ， $\frac{1}{2} \vec{A B} = (- 2 ， 0 ， - 1)$ ，则点B的坐标为（）

A、（3，1，﹣2） B、（-3，1，2） C、（-3，1，-2） D、（3，-1，2）

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3. 若双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1$ 的焦距为 $2 \sqrt{2}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $x \pm y = 0$ B、 $2 x \pm y = 0$ C、 $x \pm \sqrt{3} y = 0$ D、 $x \pm \sqrt{7} y = 0$

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4. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{2} a_{4} = 4 a_{3} - 4$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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5. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + l n x$ 满足 $\underset{△ x \to 0}{l i m} \frac{f (1 + 2 △ x) - f (1)}{3 △ x} = 2$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $3 x - y - 2 = 0$ B、 $3 x - y - 4 = 0$ C、 $4 x - 2 y - 3 = 0$ D、 $4 x - 2 y - 5 = 0$

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6. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲. 1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”. “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 ${a_{n}}$ ，则此数列的项数为（）

A、132 B、133 C、134 D、135

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7. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $O$ 为坐标原点， $M$ 为椭圆 $C$ 上一点． $F_{1} M$ 与 $y$ 轴交于一点 $N$ ， $| O M | = | O F_{2} | = \sqrt{3} | O N |$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\sqrt{5} - 2$

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8. 已知圆C： ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，P是直线 $x - y - 1 = 0$ 的一点，过点P作圆C的切线，切点为A，B，则 $| P C | \cdot | A B |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $2 \sqrt{7}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{11}$

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二、多选题

9. 已知曲线 $C ： \frac{x^{2}}{m + 1} + \frac{y^{2}}{m 一 3} = 1$ ，（）

A、若 $m < - 1$ ，则 $C$ 表示椭圆 B、若 $m > 3$ ，则 $C$ 表示椭圆 C、若 $- 1 < m < 3$ ，则 $C$ 表示双曲线 D、若 $m > - 1$ 且 $m \neq 3$ ，则 $C$ 的焦距为4

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，下列说法正确的（）

A、若 $S_{n} = n^{2} + 2 n$ ，则 ${a_{n}}$ 是等差数列 B、若 $S_{n} = 2^{n} - 1$ ，则 ${a_{n}}$ 是等比数列 C、若 ${a_{n}}$ 是等差数列，则 $S_{13} = 13 a_{7}$ D、若 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{1} > 0$ ， $q > 0$ ，则 $S_{1} \cdot S_{3} = S_{2}^{2}$

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11. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 $\cdot$ 商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层(即第一层)有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球， $\dots$ ，设“三角垛”从第一层到第 $n$ 层的各层的球数构成一个数列 ${a_{n}}$ ，则（）

A、 $a_{5} = 15$ B、 $a_{100} = 5000$ C、 $2 a_{n + 1} = a_{n} \cdot a_{n + 2}$ D、 $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$

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12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ， A、 $B$ 分别为双曲线的左，右顶点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为左、右焦点， $| F_{1} F_{2} | = 2 c$ ，且 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列，点 $P$ 是双曲线 $C$ 的右支上异于点 $B$ 的任意一点，记 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、双曲线的离心率为 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ B、当 $P F_{2} ⊥ x$ 轴时， $∠ P F_{1} F_{2} = 30 °$ C、 $k_{1} k_{2}$ 的值为 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、若 $I$ 为△ $P F_{1} F_{2}$ 的内心，记△ $I P F_{1}$ ， △ $I P F_{2}$ ， △ $I F_{1} F_{2}$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ ，则 $S_{1} - S_{2} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} S_{3}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = s i n x + x e^{x}$ ， $f^{^{'}} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则 $f^{'} (0) =$ ．

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14. 若直线 $l_{1} ：$ $3 x + y + m = 0$ 与直线 $l_{2} ： m x - y - 7 = 0$ 平行，则直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为．

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15. 已知直线 $l ： m x - (2 - m) y + 1 - m = 0$ ，圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ ，若直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $M ， N$ 两点，则 $| M N |$ 的最小值为．

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16. 设公差 $d > 0$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 5$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{3} - 1$ ， $a_{6}$ 成等比数列，则 $\frac{n a_{n} - n}{2 S_{n}}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 18$ 且 $a_{4} + a_{5} + a_{6} = 54$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{4}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点．

(1)、求直线 $A_{1} G$ 与直线 $A F$ 所成角的余弦值；

(2)、求点 $A_{1}$ 到平面 $A E F$ 的距离．

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19. 在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，曲线 $C$ 上的点都在 $y$ 轴及其右侧，且曲线 $C$ 上的任一点 $P$ 到 $y$ 轴的距离比它到圆 $F ： x^{2} + y^{2} - 2 x + \frac{15}{16} = 0$ 的圆心的距离小1．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知过点 $F$ 的直线 $l$ 交曲线 $C$ 于点 $A ， B$ ，若 $| F A | - | F B | = \frac{8}{3}$ ，求 $△ A O B$ 面积．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是菱形， $A C = 2$ ， $B D = 2 \sqrt{3}$ ， $E$ 是 $P B$ 的中点．

(1)、求证： $A C ⊥ D E$ ；

(2)、已知二面角 $A - P B - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，求 $E C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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21. 设正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 2$ ， $4 S_{n} = a_{n + 1}^{2} - 4 n - 4$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若不等式 $(- 1)^{n} \cdot λ < T_{n} + \frac{n}{2^{n - 1}}$ 对一切 $n \in N^{*}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围．

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22. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且点 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 在椭圆 $E$ 上．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、若过定点 $F （ 0 ， 2 ）$ 的直线交椭圆 $E$ 于不同的两点 $G$ ､ $H$ (点 $G$ 在点 $F$ ､ $H$ 之间)，且满足 $\vec{F G} = λ \vec{F H}$ ，求 $λ$ 的取值范围.

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