重庆市缙云教育联盟2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若抛物线 $x^{2} = 2 m y$ 的焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的下焦点重合，则m的值为（）

A、4 B、2 C、-4 D、-2

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2. 已知空间向量 $\vec{a} = (2 ， 3 ， 6) ， \vec{b} = (3 ， - 4 ， 1)$ ，则 $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ =$ （）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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3. 直线 $y = x + 2$ 的倾斜角是（）．

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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4. 方程 $(y^{2} - 4 x) \ln y = 0$ 表示的曲线为（）

A、抛物线与一条直线 B、上半抛物线（除去顶点）与一条直线 C、抛物线与一条射线 D、上半抛物线（除去顶点）与一条射线

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5. 已知集合A={（x，y）|x²+y²=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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6. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且 $| F_{1} F_{2} | = 4$ ，点 $P$ 是 $C$ 的右支上一点，且 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ， $∠ P F_{1} F_{2} = \frac{π}{6}$ ，则双曲线 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2 \sqrt{3}} - \frac{y^{2}}{\sqrt{3} - 1} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4 - 2 \sqrt{3}} - \frac{y^{2}}{2 \sqrt{3}} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2 + 2 \sqrt{3}} - \frac{y^{2}}{\sqrt{3}} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{2 + \sqrt{3}} - \frac{y^{2}}{2 - \sqrt{3}} = 1$

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7. 已知直线 $l ： a x + b y - a b = 0 (a > 0 ， b > 0)$ 与x轴，y轴分别交于A，B两点，且直线l与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，则 $△ A O B$ 的面积的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数 $e$ 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当 $0 < e < 1$ 时，轨迹为椭圆；当 $e = 1$ 时，轨迹为抛物线；当 $e > 1$ 时，轨迹为双曲线.现有方程 $m (x^{2} + y^{2} + 2 y + 1) = {(x - 2 y + 3)}^{2}$ 表示的曲线是双曲线，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 5)$ D、 $(5 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为 $(1 ， 0)$ ，一个法向量为 $(0 ， 1)$ B、若直线的一个方向向量为 $(a ， a + 1)$ ，则该直线的斜率为 $k = \frac{a + 1}{a}$ C、若直线的法向量为 $\vec{v} = (x_{0} ， y_{0})$ ，则 $\vec{a} = (y_{0} ， - x_{0})$ 能作为该直线的一个方向向量 D、任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的

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10. 在数列 ${a_{n}}$ 中，对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $\frac{a_{n + 2} - a_{n + 1}}{a_{n + 1} - a_{n}} = k$ （ $k$ 为常数），则称 ${a_{n}}$ 为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断正确的是（）

A、 $k$ 不可能为0； B、等差数列一定是等差比数列； C、等比数列一定是等差比数列； D、通项公式为 $a_{n} = a \cdot b^{n} + c (a \neq 0 ， b \neq 0 ， 1)$ 的数列一定是等差比数列

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11. 若直线 $l ： y = k x + 1$ 与圆 $C ： {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ 相切，则直线 $l$ 与圆 $D ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 2$ 的位置关系可以是（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、不确定

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12. 如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ ，半焦距分别为 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ ，离心率分别为 $e_{1} ， e_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{1} + c_{1} > 2 (a_{2} + c_{2})$ B、 $a_{1} - c_{1} = a_{2} - c_{2}$ C、 $a_{1} c_{2} > a_{2} c_{1}$ D、 $e_{1} = \frac{e_{2} + 1}{2}$

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三、填空题

13. 直线 $m x - y - \sqrt{2} = 0$ 与直线 $2 x - m y - 2 = 0$ 平行，则m的值是．

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14. 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 0$ 外切于原点，且被y轴截得的弦长为8的圆的标准方程为．

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15. 若a，x₁ ， x₂ ， x₃ ， b与a，y₁ ， y₂ ， y₃ ， y₄ ， y₅ ， b均为等差数列，则 $\frac{x_{3} - x_{1}}{y_{3} - y_{1}}$ =

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16. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = A C = B C = B D = C D$ ，二面角 $A - B C - D$ 的余弦值为 $- \frac{1}{3}$ ，若三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积为．

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四、解答题

17. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列，前n项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是首项为1的等比数列， $4 b_{2} - b_{3} = 4$ ， $b_{4} = a_{4} + 4 a_{1}$ ， $2 S_{15} = 15 b_{5}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} b_{2 n + 1}}$ 的前n项和.

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18. 已知圆C过点 $A (4 ， 2)$ ， $B (1 ， 3)$ ，它与x轴的交点为 $(x_{1} ， 0)$ ， $(x_{2} ， 0)$ ，与y轴的交点为 $(0 ， y_{1})$ ， $(0 ， y_{2})$ ，且 $x_{1} + x_{2} + y_{1} + y_{2} = 6$ .

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、若 $A (- 3 ， - 9)$ ，直线 $l ： x + y + 2 = 0$ ，从点A发出的一条光线经直线l反射后与圆C有交点，求反射光线所在的直线的斜率的取值范围.

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19. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $E$ ， $F$ 分别为 $B B_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点．

(1)、求证：平面 $B C_{1} F / /$ 平面 $A D_{1} E$ ；

(2)、求平面 $B C C_{1} B_{1}$ 与平面 $A D_{1} E$ 所成锐二面角的余弦值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + 1 ， n 为奇数 \\ 2 a_{n} ， n 为偶数 \end{array}$ ， ____， $n ∈ N^{∗}$ .从① $b_{n} = a_{2 n - 1} + 2$ ， ② $b_{n} = a_{2 n + 1} - a_{2 n - 1}$ 这两个条件中任选一个填在横线上，并完成下面问题.

(1)、写出 $b_{1}$ 、 $b_{2}$ ，并求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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21. 设椭圆： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，右顶点为 $B$ .已知椭圆的离心率为 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且以线段 $A B$ 为直径的圆被直线 $x + \sqrt{3} y - 2 = 0$ 所截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、设过点 $A$ 的直线 $l$ 与椭圆交于点 $M$ ，且点 $M$ 在第一象限，点 $M$ 关于 $x$ 轴对称点为点 $N$ ，直线 $N B$ 与直线 $l$ 交于点 $P$ ，若直线 $O P$ 斜率大于 $\frac{3}{10}$ ，求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围.

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