贵州省毕节市赫章县2021-2022学年高二上学期理数期末教学质量监测试卷

试卷更新日期：2022-11-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {0, 1, 2, 3, 4, 5}$ ，集合 $A = {1, 3, 5}, B = {0, 1, 2}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${0, 1}$ B、 ${0, 2}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${2}$

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2. 命题 $p ：$ 任意圆的内接四边形是矩形，则 $\neg p$ 为（）

A、每一个圆的内接四边形是矩形 B、有的圆的内接四边形不是矩形 C、所有圆的内接四边形不是矩形 D、存在一个圆的内接四边形是矩形

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3. 已知 $t a n (β - α) = 7$ ， $t a n (α + β) = 3$ ，则 $t a n 2 β$ 等于（）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4. 若“ $1 \leq x \leq 4$ ”是“ $a \leq x \leq a + 4$ ”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）

A、 $a \leq 0$ B、 $a \leq 0$ 或 $a \geq 1$ C、 $0 < a < 1$ D、 $0 \leq a \leq 1$

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5. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x ⩾ 2 ， \\ y ⩾ 2 ， \\ x + y ⩽ 6 ， \end{array}$ 则 $z = x + 2 y$ 的最大值为（）

A、10 B、8 C、4 D、20

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6. 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{11}{32}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{13}{32}$ D、 $\frac{7}{16}$

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7. 如图所示的程序框图，阅读下面的程序框图，则输出的S=（）

A、14 B、20 C、30 D、55

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8. 随着城市生活节奏的加快，网上订餐成为很多上班族的选择，下表是某外卖骑手某时间段订餐数量x与送餐里程y的统计数据表：
订餐数x/份
12
23
31
送餐里程y/里
15
30
45
现已求得上表数据的回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的 $\hat{b}$ 值为1.5，则据此回归模型可以预测，订餐100份外卖骑手所行驶的路程约为（）

A、155里 B、145里 C、147里 D、148里

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9. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象与 $y$ 轴交于点 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，与 $x$ 轴的一个交点为 $(1 ， 0)$ ，如图所示，则下列说法错误的是（）

A、 $φ = \frac{π}{6}$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为6 C、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5}{2}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{5 π}{2}]$ 上单调递减

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10. 已知命题p：函数 $f (x) = 2 a x^{2} - x - 1 (a \neq 0)$ 在（0，1）内恰有一个零点；
命题q：函数 $y = x^{2 - a}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数，若p且 $\neg q$ 为真命题，则实数的取值范围是（）

A、 $a > 1$ B、≤2 C、1<≤ 2 D、≤ l或>2

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11. 已知圆 $C_{1}$ 的圆心在x轴上，半径为1，且过点 $(2, - 1)$ ，圆 $C_{2}$ ： ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 10$ ，则圆 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的公共弦长为（）

A、 $\frac{\sqrt{62}}{4}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{7}}{4}$ D、2

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12. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，且对任意 $x ∈ R$ 都有 $f (x + 2) = f (2 - x) + 4 f (2)$ ，若函数 $y = f (x + 1)$ 的图象关于点 $(- 1 ， 0)$ 对称，且 $f (1) = 3$ ，则 $f (2021) =$ （）

A、6 B、3 C、0 D、-3

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ 为.

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14. 如图茎叶图记录了A､ $B$ 两名营业员五天的销售量，若A的销售量的平均数比 $B$ 的销售量的平均数多1，则A营业员销售量的方差为.

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15. 已知正数a、b满足 a²+b²=6 ,则 $b \sqrt{a^{2} + 4}$ 的最大值为。

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16. 已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB=CD=a，AC=AD=BC=BD= $\sqrt{5}$ ，则a= ．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $5 a cos A = 3 (c cos B + b cos C)$ .

(1)、求 $tan A$ ；

(2)、若 $c = 5$ ，且 $△ A B C$ 的面积为4，求 $△ A B C$ 的周长

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18. 某学校为了调查本校学生在一周内零食方面的支出情况，抽出了一个容量为 $n$ 的样本，分成四组 $[20 ， 30)$ ， $[30 ， 40)$ ， $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60]$ ，其频率分布直方图如图所示，其中支出金额在 $[50 ， 60]$ 元的学生有180人.

(1)、请求出 $n$ 的值；

(2)、如果采用分层抽样的方法从 $[30 ， 40)$ ， $[40 ， 50)$ 内共抽取5人，然后从中选取2人参加学校的座谈会，求在 $[30 ， 40)$ ， $[40 ， 50)$ 内正好各抽取一人的概率为多少.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱垂直于底面， $A B ⊥ B C ， A A_{1} = A C = 2 ， B C = 1 ， E ， F$ 分别是 $A_{1} C_{1} ， B C$ 的中点．

(1)、求证：平面 $A B E ⊥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ；

(2)、"求证： $C_{1} F ∥$ 平面 $A B E$ ；

(3)、求三棱锥 $E - A B C$ 体积．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} s i n x c o s x + \frac{1}{2} c o s^{2} x + a + \frac{3}{4}$ （其中a为常数）．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，时， $f (x)$ 的最小值为4，求a的值．

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21. 已知各项均为正数的等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 9$ ，且 $a_{1} + 1$ ， $a_{2} + 1$ ， $a_{3} + 3$ 构成等比数列 ${b_{n}}$ 的前三项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = 1 + 2 \log_{2} b_{n}$ ，求数列 ${\frac{1}{a_{n} \cdot c_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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22. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - 1$ ， $g (x) = a | 2^{x} - 1 |$ .

(1)、令 $h (x) = | f (2 x) | - g (x)$ ，求函数 $h (x)$ 的零点；

(2)、令 $T (x) = f (2 x) + f (- 2 x) - m [f (x) - f (- x)] + 1 (- 1 \leq x \leq 1)$ ，求函数 $T (x)$ 的最小值.

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订餐数x/份	12	23	31
送餐里程y/里	15	30	45