贵州省毕节市2021-2022学年高二上学期理数期末教学质量检测试卷

试卷更新日期：2022-11-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{6} \geq 2 x + 11$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{6} < 2 x + 11$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{6} \geq 2 x + 11$ C、 $\forall x \notin R$ ， $x^{6} < 2 x + 11$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{6} < 2 x + 11$

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2. 已知集合 $A = {x | - 3 \leq - 2 x + 1 < 5}$ ， $B = {x | y = l n (x + 1) + \frac{1}{x}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 2]$ C、 $(- 1 ， 0) ∪ (0 ， 2]$ D、 $(- 1 ， 0) \cap (0 ， 2)$

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3. 变量 $x ， y$ 之间有如下对应数据：
$x$
3
4
5
6
7
$y$
13
11
10
8
7
已知变量 $y$ 与 $x$ 呈线性相关关系，且回归方程为 $\hat{y} = - 1.5 x + a$ ，则 $a$ 的值是（）

A、2.3 B、2.5 C、17.1 D、17.3

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4. 在空间中，“直线 $A B$ 与 $C D$ 没有公共点”是“直线 $A B$ 与 $C D$ 异面”的（）

A、必要不充分条件 B、充要条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 设P为椭圆C： $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为左、右焦点，且 $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ，则 $| P F_{2} | =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{15}{2}$

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6. 将函数 $f (x) = s i n (4 x - \frac{π}{4}) + c o s (4 x - \frac{π}{4})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x) =$ （）

A、 $- \sqrt{2} s i n (4 x - \frac{π}{3})$ B、 $\sqrt{2} s i n (4 x + \frac{π}{3})$ C、 $\sqrt{2} s i n (4 x + \frac{π}{6})$ D、 $s i n (4 x + \frac{2 π}{3})$

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7. 刘老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论.
甲：该圆经过点 $(2 ， 2)$ .
乙：该圆的半径为 $\sqrt{5}$ .
丙：该圆的圆心为 $(1 ， 0)$ .
丁：该圆经过点 $(7 ， 0)$ ，
如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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8. 某汽车制造厂分别从A，B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位： $1 0^{3} k m$ ）．
A类轮胎：94，96，99，99，105，107．
B类轮胎：95，95，98，99，104，109．
根据以上数据，下列说法正确的是（）

A、A类轮胎行驶的最远里程的众数小于B类轮胎行驶的最远里程的众数 B、A类轮胎行驶的最远里程的极差等于B类轮胎行驶的最远里程的极差 C、A类轮胎行驶的最远里程的平均数大于B类轮胎行驶的最远里程的平均数 D、A类轮胎的性能更加稳定

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9. 若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为 $N \equiv n (m o d m)$ ，如 $10 \equiv 2 (m o d 4)$ .如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的“中国剩余定理”.执行该程序框图，则输出的i等于（）

A、7 B、10 C、13 D、16

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10. 定义在R上的偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 上单调递增，且 $f (l o g_{2} \frac{1}{4}) = 0$ ，则满足 $x f (x - 4) \geq 0$ 的x的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0) ∪ [2 ， 6]$ B、 $(- \infty ， 0] ∪ [2 ， 6]$ C、 $(- \infty ， 0) ∪ [4 ， 6]$ D、 $(- \infty ， 0] ∪ [4 ， 6]$

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11. 已知 $A (1 ， 0 ， 0) ， B (0 ， 1 ， 0) ， C (0 ， 0 ， 1) ， D (1 ， 1 ， 2)$ ，则点 $D$ 到平面 $A B C$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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12. 双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为 $4 \sqrt{3}$ 米，上口半径为 $\frac{4 \sqrt{39}}{3}$ 米，下口半径为 $\frac{20 \sqrt{3}}{3}$ 米，高为24米，则该双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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二、填空题

13. 抛物线 $y^{2} = 100 x$ 的焦点坐标为．

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14. 在区间 $[1 ， 4]$ 上随机取1个数，则取到的数小于2的概率为.

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15. 若 $A$ 是直线 $B C$ 外一点， $D$ 为线段 $B C$ 的中点， $\vec{A B} + \vec{A C} = 3 \vec{A E}$ ， $\vec{D E} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $x + y =$ ．

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 是边长为4的等边三角形，四边形ABCD是等腰梯形， $A D ∥ B C$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = A D$ ，若四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为24，则四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的表面积是.

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三、解答题

17. 设 $p$ ：函数 $f (x) = l g (a x^{2} - x + \frac{a}{36})$ 的定义域为 $R$ ； $q$ ：不等式 $x + \frac{1}{x} > a$ 对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立．

(1)、如果 $p$ 是真命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、如果“ $p \lor q$ ”为真命题，“ $p \land q$ ”为假命题，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $c o s 2 A - \sqrt{3} s i n A + 2 = 0$ .

(1)、求A；

(2)、若 $b + c = 6 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 外接圆面积的最小值.

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19. 某中学共有 $3000$ 名学生，其中高一年级有1200名学生，为了解学生的睡眠情况，用分层抽样的方法，在三个年级中抽取了200名学生，依据每名学生的睡眠时间（单位：小时），绘制出了如图所示的频率分布直方图.

(1)、求样本中高一年级学生的人数及图中 $a$ 的值；

(2)、估计样本数据的中位数（保留两位小数）；

(3)、估计全校睡眠时间超过7个小时的学生人数.

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20. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{n + 1} - 2^{n + 1} = a_{n} - 2^{n} + 1$ .

(1)、证明；数列 ${a_{n} - n + 1}$ 是等比数列.

(2)、若 $b_{n} = l o g_{4} (a_{n} - n + 1)$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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21. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A_{1} B_{1}$ ， $A C$ ， $C C_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $B F ⊥ D E$ ．

(2)、求平面 $B E F$ 与平面 $D E F$ 所成锐二面角的余弦值．

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22. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点，点 $M$ 是椭圆 $C$ 上的一点，且 $∠ F_{1} M F_{2} = \frac{π}{2} ， △ F_{1} M F_{2}$ 的面积为1.

(1)、求椭圆 $C$ 的短轴长；

(2)、过原点的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的一点，若 $△ P A B$ 为等边三角形，求 $a$ 的取值范围.

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$x$	3	4	5	6	7
$y$	13	11	10	8	7