广东省珠海市2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-22 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 直线 $x + \sqrt{3} y + 3 = 0$ 的倾斜角是( )

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

查看试题解析
2. 已知空间向量 $\vec{a} = (0 ， 1 ， 4)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 1 ， 0)$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{19}$ B、19 C、17 D、 $\sqrt{17}$

查看试题解析
3. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 1$ ， $S_{3} = 18$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、54 B、71 C、81 D、80

查看试题解析
4. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 与椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 有相同的焦点，且一条渐近线方程为 $l$ ： $x - 2 y = 0$ ，则双曲线 $C$ 的方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ C、 $- x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $- \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$

查看试题解析
5. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 2$ ， $A A_{1} = 1$ ，则直线 $A_{1} D$ 与 $B D_{1}$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$

查看试题解析
6. 已知点 $P$ 在抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 m x (m \in R ， m \neq 0)$ 上，点 $F$ 为抛物线 $C$ 的焦点， $| P F | = 12$ ，点P到y轴的距离为4，则抛物线C的方程为（）

A、 $y^{2} = 64 x$ B、 $y^{2} = \pm 64 x$ C、 $y^{2} = 32 x$ D、 $y^{2} = \pm 32 x$

查看试题解析
7. 我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著.该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”.其意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上一层的2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”.若改为 “求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有（）盏.

A、192 B、128 C、3 D、1

查看试题解析
8. 已知直线 $l$ ： $m x - y - 3 m + 1 = 0$ 恒过点 $P$ ，过点 $P$ 作直线与圆C： $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ 相交于A，B两点，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{5}$ B、2 C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

查看试题解析
9. 如图，已知多面体 $A B C D E$ ，其中 $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形，四边形 $A C D E$ 是矩形， $A E = 2$ ，平面 $A C D E ⊥$ 平面 $A B C$ ，则点 $C$ 到平面 $A B D$ 的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3} + 1}{4}$

查看试题解析
10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式是 $a_{n} = {(- 1)}^{n} (5 n - 3)$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{2021} =$ （）

A、10100 B、-10100 C、5052 D、-5052

查看试题解析

二、多选题

11. 已知圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $(4 ， 0)$ 在圆M内 B、圆M关于 $x + 3 y - 2 = 0$ 对称 C、半径为 $\sqrt{3}$ D、直线 $x - \sqrt{3} y = 0$ 与圆M相切

查看试题解析
12. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第 $n$ 层有 $a_{n}$ 个球，从上往下 $n$ 层球的总数为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{n + 1} - a_{n} = n$ B、 $S_{5} = 35$ C、 $S_{n} - S_{n - 1} = \frac{n (n + 1)}{2}$ ， $n \geq 2$ D、 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{2021}} = \frac{2021}{1011}$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知直线 $- 2 x + y + 1 = 0$ 在两坐标轴上的截距分别为 $a$ ， $b$ ，则 $a + b =$ .

查看试题解析
14. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{11}$ 成等比数列，第1，2项与第10，11项的和为68，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式是.

查看试题解析
15. 已知四面体 $O A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别在 $A B$ ， $O C$ 上，且 $A D = D B$ ， $O E = 2 E C$ ，若 $\vec{D E} = α \vec{O A} + β \vec{O B} + γ \vec{O C}$ ，则 $α + β + γ =$ .

查看试题解析
16. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{7} = 1$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是其左右焦点.圆 $E$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 y + 3 = 0$ ，点 $P$ 为双曲线 $C$ 右支上的动点，点 $Q$ 为圆 $E$ 上的动点，则 $| P Q | + | P F_{1} |$ 的最小值是.

查看试题解析

四、解答题

17. 在① $a_{1} + a_{6} + a_{10} = 0$ ， ② $- 2 a_{2} = a_{13}$ ， ③ $a_{3} a_{5} = a_{7}^{2}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中.
问题：等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d (d \neq 0)$ ，满足 $a_{2} + a_{3} + a_{7} = - 15$ ， ____?

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 得到最小值时 $n$ 的值.

查看试题解析
18. 如图，矩形ABCD，点E，F分别是线段AB，CD的中点， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ，以EF为轴，将正方形AEFD翻折至与平面EBCF垂直的位置 $E F D_{1} A_{1}$ 处.请按图中所给的方法建立空间直角坐标系，然后用空间向量坐标法完成下列问题

(1)、求证：直线 $E D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C F$ ；

(2)、求直线 $E C$ 与平面 $A_{1} C F$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
19. 已知圆 $C$ 过点 $A (4 ， 0)$ ， $B (8 ， 6)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $l$ ： $x - y - 3 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若从点 $M (- 4 ， 1)$ 发出的光线经过 $x$ 轴反射，反射光线 $l_{1}$ 刚好经过圆心 $C$ ，求反射光线 $l_{1}$ 的方程.

查看试题解析
20. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ A B$ ， $P A ⊥ A C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = 2$ ， $P A = 4$ ，点 $M$ 是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上，且 $P N = 2 N B$ .

(1)、证明： $B D ∥$ 平面CMN；

(2)、求平面MNC与平面ABC所成角的余弦值.

查看试题解析
21. 已知数列 ${a_{n}}$ 是正项数列， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{n + 1}^{2} - a_{n + 1} a_{n} + a_{n + 1} = 2 a_{n}^{2} + 2 a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n}{a_{n}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $a_{n} T_{n} + n + m a_{n} > 1 (m \in R)$ 对 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 已知椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{6} = 1 (a > \sqrt{6})$ ， $C_{1}$ 的左右焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C_{2}$ 的左右顶点， $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $C_{2}$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，点 $E$ 在 $C_{2}$ 上，过点E和 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别作直线交椭圆 $C_{1}$ 于 $F$ ， $G$ 和 $M$ ， $N$ 点，如图.

(1)、求 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的方程；

(2)、求证：直线 $E F_{1}$ 和 $E F_{2}$ 的斜率之积为定值；

(3)、求证： $\frac{1}{| F G |} + \frac{1}{| M N |}$ 为定值.

查看试题解析