广东省揭阳市揭西县2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合A= ${y | y \geq - 4} ， B = {x | 3 x \leq 4 - 2 x} ，则 A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 4 \leq x \leq \frac{4}{5}}$ B、 ${x | - 4 < x < \frac{4}{5}}$ C、 ${x | x \leq - 4$ 或 $x \geq \frac{4}{5}}$ D、 $R$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，若复数 $z$ 满足 $\frac{z}{1 + i} = 2 i$ ，则 $| z | =$ （）．

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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3. 若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）

A、 $\vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{b} - \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{c}$ C、 $\vec{a}$ ， $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{c}$

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4. 等比数列{ $a_{n}$ }中，已知 $a_{1} + a_{3}$ =8， $a_{5}$ + $a_{7}$ =4，则 $a_{9} + a_{11} + a_{13} + a_{15}$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、5

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5. △ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{25^{}} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{25^{}} + \frac{x^{2}}{9} = 1$ （y≠0） C、 $\frac{x^{2}}{16^{}} + \frac{y^{2}}{9} = 1 (y \neq 0)$ D、 $\frac{x^{2}}{25^{}} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ （y≠0）

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6. 算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3粒下珠，得到的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 直线 $x + y + 2 = 0$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P$ 在圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ 上，则 $△ A B P$ 面积的取值范围是（）

A、 $[2 ， 6]$ B、 $[4 ， 8]$ C、 $[\sqrt{2} ， 3 \sqrt{2}]$ D、 $[2 \sqrt{2} ， 3 \sqrt{2}]$

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8. 已知A，B是球O的球面上两点， $∠ A O B = 90 °$ ， C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）

A、36π B、64π C、144π D、256π

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二、多选题

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{1 - a_{n}}$ ，则下列各数是 ${a_{n}}$ 的项的有（）

A、-2 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、3

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10. 血压（bloodpressure，BP）是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力，血压的最大值､最小值分别称为收缩压和舒张压.未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人收缩压 $\geq 140 mmHg$ 或舒张压 $\geq 90 mmHg$ ，则说明这位成人有高血压，设从未使用抗高血压药的李华今年40岁，从某天早晨6点开始计算（即早晨6点时， $t = 0$ ），他的血压 $p (t)$ （ $mmHg$ ）与经过的时间 $t$ （ $h$ ）满足关系式 $p (t) = 116 + 22 \sin (\frac{π}{6} t + \frac{π}{3})$ ，则（）

A、函数 $p (t)$ 的最小正周期为6 B、当天早晨7点时李华的血压为 $138 mmHg$ C、当天李华有高血压 D、当天李华的收缩压与舒张压之差为 $44 mmHg$

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11. 已知动点 $P$ 在双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上，双曲线 $C$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，下列结论正确的是（）

A、 $C$ 的离心率为 $2$ B、 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、动点 $P$ 到两条渐近线的距离之积为定值 D、当动点 $P$ 在双曲线 $C$ 的左支上时， $\frac{| P F_{1} |}{{| P F_{2} |}^{2}}$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$

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12. 如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A₁DE.若M为线段A₁C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列命题正确的是（）

A、MB是定值 B、点M在圆上运动 C、一定存在某个位置，使DE⊥A₁C D、一定存在某个位置，使MB∥平面A₁DE

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三、填空题

13. 若抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 上一点 $P (2 ， y_{0})$ 到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为.

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14. 已知圆锥的母线长为 $\sqrt{3}$ cm，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为cm.

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15. 基础建设对社会经济效益产生巨大的作用．某市投入 $a$ 亿元进行基础建设， $t$ 年后产生 $f (t) = a c^{λ x}$ 亿元社会经济效益．若该市投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，则再过年．该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍．

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16. 已知数列的前 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = 2^{n + 1} ， b_{n} = {log}_{2} (a_{n}^{2} \cdot 2^{a_{n}})$ ，数列的 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则满足 $T_{n} > 1024$ 的最小 $n$ 的值为．

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四、解答题

17. 已知直线 $l$ 经过两条直线 $2 x - y - 3 = 0$ 和 $4 x - 3 y - 5 = 0$ 的交点，且与直线 $x + y - 2 = 0$ 垂直．

(1)、求直线 $l$ 的一般式方程；

(2)、若圆 $C$ 的圆心为点 $(3 ， 0)$ ，直线 $l$ 被该圆所截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ，求圆 $C$ 的标准方程．

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18. 已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $2 b c o s A = a c o s C + c c o s A$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $b = 3$ ， $c = 4$ ， $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，求 $A D$ 的长.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ ，若____．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．
从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解．
① $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{n} = n^{2}$ ；
② $a_{1} = 1$ ， $a_{4} = 7$ ， $2 a_{n} = a_{n - 1} + a_{n + 1} (n \in N^{*} ， n ≥ 2)$ ；
③ $a_{1} = 1$ ，点 $A (n ， a_{n})$ ， $B (n + 1 ， a_{n + 1})$ 在斜率是2的直线上．

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B = \sqrt{6}$ ，点 $E$ 是棱 $P B$ 的中点．

(1)、求证： $A E ⊥$ 平面 $P B C$ ，并求直线 $A D$ 与平面 $P B C$ 的距离；

(2)、若 $A D = \sqrt{3}$ ，求平面 $A E C$ 与平面 $D E C$ 所成夹角的余弦值．

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21. 习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．江苏某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台16200元，第一年每台设备的维修保养费用为1100元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益8100元．

(1)、每台充电桩第几年开始获利？

(2)、每台充电桩在第几年时，年平均利润最大．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点 $A (\sqrt{3} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆C上.

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、已知直线 $l ： y = k (x - 3) (k \neq 0)$ 与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线 $l^{'}$ 过点M，且与直线l垂直.记直线 $l^{'}$ 与y轴的交点为N，求 $| M N |$ 的取值范围.

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