甘肃省武威市凉州区2021-2022学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $a > b$ ，则下列正确的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $a c > b c$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $b - c < a - c$

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2. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 < 0$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} + 1 < 0$ C、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} + 1 \geq 0$ D、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} + 1 \leq 0$

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3. 某高中学校高二和高三年级共有学生2400人，为了解该校学生的视力情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取25人，则高一年级学生人数为（）

A、1000 B、800 C、200 D、600

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4. 设 $θ \in R$ ，则“ $0 < θ < \frac{π}{3}$ ”是“ $0 < s i n θ < \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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5. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} = - 2 n^{2} + 29 n + 3$ ，则此数列最大项的值是（）

A、102 B、 $\frac{965}{8}$ C、 $\frac{917}{8}$ D、108

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6. 已知 $a b > 0$ ， $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、0.5 B、1 C、2 D、4

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7. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} + a_{8} = 24$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、240 B、180 C、120 D、60

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8. 动点 $P$ 到两定点 $F_{1} (- 4 ， 0)$ ， $F_{2} (4 ， 0)$ 的距离和是10，则动点 $P$ 的轨迹为（）

A、椭圆 B、双曲线 C、线段 $F_{1} F_{2}$ D、不能确定

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 2} = 2 a_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{2021} =$ （）

A、 $2^{1011}$ B、 $2^{1010}$ C、 $2^{2020}$ D、 $2^{2021}$

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10. 等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，且 $a_{5} a_{6} + a_{4} a_{7} = 6$ ，则 $l o g_{3} (a_{1} a_{2} ⋯ a_{10}) =$

A、1 B、5 C、15 D、30

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11. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > \sqrt{3})$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则实数 $m =$ （）

A、2 B、3 C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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12. 双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线与直线 $2 x + 3 y = 0$ 垂直，则它的离心率 $e$ 为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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二、填空题

13. 若“x²－2x－8>0”是“x<m”的必要不充分条件，则m最大值为．

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14. 若椭圆W： $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则m=.

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15. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x + y \leq 2 \\ x - 3 y \leq 0 \end{array}$ ，则 $2 x + y$ 的最大值是 .

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16. 已知直线 $l$ 过抛物线 $C$ 的焦点，且与 $C$ 的对称轴垂直， $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $| A B | = 18$ ， $P$ 为 $C$ 的准线上一点，则 $△ A B P$ 的面积为．

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} + 2 x - 3 < 0}$ ， $B = {x | | x + a | < 1}$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求A $∩$ B；

(2)、设 $p ： x \in A$ ， $q ： x \in B$ ，若 $q$ 是 $p$ 成立的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} + a_{5} = 26 ， S_{5} = 45$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $S_{n} > 240$ ，求n的最小值．

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19. 已知命题 $p$ ：“曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{4 m - 3} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆”，命题 $q$ ：“曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{m - t} + \frac{y^{2}}{m - t - 1} = 1$ 表示双曲线”.

(1)、若 $p$ 是真命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，求实数 $t$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = 3 a x^{2} + a x - 1$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \leq 0$ 在 $R$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = a^{x} + b (a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象经过点 $A (0 ， - 2)$ 和 $B (1 ， 2)$ .

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若 $a_{n} = f (n) (n \in N^{*})$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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22. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 的焦点为F， $M (1, t)$ 为抛物线C上的点，且 $| M F | = \frac{3}{2}$ .

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、若直线 $y = x - 2$ 与抛物线C相交于A，B两点，求弦长 $| A B |$ .

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