甘肃省兰州市教育局第四片区2021-2022学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $a$ 、 $b$ 为非零实数，若 $a > b$ 且 $a b > 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$ C、 $a b^{2} > a^{2} b$ D、 $\frac{1}{a^{2} b} < \frac{1}{a b^{2}}$

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2. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = 2 ， a_{2} + a_{3} = 13$ 则 $a_{4} + a_{5} + a_{6}$ 等于（）

A、40 B、42 C、43 D、45

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3. 已知各项均为正数的等比数列{a_n}，a₁a₂a₃=5，a₇a₈a₉=10，则a₄a₅a₆=（）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、7 C、6 D、 $4 \sqrt{2}$

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4. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a^{2} - b^{2} = \sqrt{3} b c, sin C = 2 \sqrt{3} sin B$ ，则角 $A$ 为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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5. 设变量 $x ， y$ 满足约束条件： ${\begin{array}{l} y \geq x \\ x + 2 y \leq 2 \\ x \geq - 2 \end{array}$ ，则 $z = x - 3 y$ 的最小值（）

A、-2 B、-4 C、-6 D、-8

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6. 已知F₁(-5，0)，F₂(5，0)，动点P满足|PF₁|-|PF₂|=2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别为（）

A、双曲线和一条直线 B、双曲线和一条射线 C、双曲线的一支和一条直线 D、双曲线的一支和一条射线

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7. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} > 0$ ， $S_{3} = S_{10}$ ，则当 $S_{n}$ 取最大值时， $n$ 的值为（）

A、6 B、7 C、6或7 D、不存在

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8. 下列命题错误的是（）

A、命题“若 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ，则 $x = 1$ ”的逆否命题为“若 $x \neq 1$ ，则 $x^{2} - 3 x + 2 \neq 0$ ” B、命题“若 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ，则 $x = 1$ ”的否命题为“若 $x^{2} - 3 x + 2 \neq 0$ ，则 $x \neq 1$ ” C、若命题p： $x < - 1 ，$ 或 $x > 1$ ；命题q： $x < - 2 ，$ 或 $x > 1$ ，则 $\neg p$ 是 $\neg q$ 的必要不充分条件 D、“ $x > 2$ ”是“ $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ ”的充分不必要条件

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9. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点为F₁ ， F₂离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过F₂的直线l交C与A，B两点，若△AF₁B的周长为 $4 \sqrt{3}$ ，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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10. 下列命题中正确的是（）

A、函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的最小值为2. B、函数 $y = \frac{x^{2} + 3}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ 的最小值为2. C、函数 $y = 2 - 3 x - \frac{4}{x} (x > 0)$ 的最小值为 $2 - 4 \sqrt{3}$ D、函数 $y = 2 - 3 x - \frac{4}{x} (x > 0)$ 的最大值为 $2 - 4 \sqrt{3}$

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11. 设点P是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0$ ， $b > 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ 在第一象限的交点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是双曲线的左、右焦点，且 $| P F_{1} | = \sqrt{3} | P F_{2} |$ ，则此双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\sqrt{3} + 1$ D、3

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12. 已知圆C₁：(x＋3)²＋y²＝1和圆C₂：(x－3)²＋y²＝9，动圆M同时与圆C₁及圆C₂相外切，求动圆圆心M的轨迹方程（）

A、x²－ $\frac{y^{2}}{8}$ ＝1(x≤－1) B、x²－ $\frac{y^{2}}{8}$ ＝1 C、x²－ $\frac{y^{2}}{8}$ ＝1(x $\geq$ 1) D、 $\frac{y^{2}}{8}$ －x²＝1

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二、填空题

13. 命题 $p ： \forall x \in R ， x^{2} + 1 > 0$ 的否定是.

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14. 不等式 $a x^{2} - b x + 2 > 0$ 的解集为 ${x | - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{3}}$ ，则 $a + b =$ ．

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15. 与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 有共同的渐近线，并且经过点 $(2, \sqrt{5})$ 的双曲线方程是．

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16. 点P(8，1)平分椭圆x²+4y²＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是.

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三、解答题

17. 已知命题p：方程 $\frac{x^{2}}{2 - m} + \frac{y^{2}}{m - 1} = 1$ 的曲线是焦点在y轴上的双曲线；命题q：方程 $4 x^{2} + 4 (m - 2) x + 1 = 0$ 无实根.若p或q为真，￢q为真，求实数m的取值范围.

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18. 已知椭圆C的两焦点分别为 $F_{1} (- 2 \sqrt{2} ， 0) 、 F_{2} (2 \sqrt{2} ， 0)$ ，长轴长为6．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点，求线段AB的长度．

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19. $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为 $a, b, c$ . 已知 $a = 3, \cos A = \frac{\sqrt{6}}{3}, B = A + \frac{π}{2}$ .

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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20. 已知单调递增的等比数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 28$ ，且 $a_{3} + 2$ 是 $a_{2}$ ， $a_{4}$ 的等差中项．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} \cdot l o g_{\frac{1}{2}} a_{n}$ ， $S_{n} = b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{n}$ ，求 $S_{n}$ ．

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21. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ － $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ ＝1(a>0，b>0)的焦点坐标分别为 $(- 2 \sqrt{2} ， 0)$ 和 $(2 \sqrt{2} ， 0)$ ，且该双曲线经过点P(3，1)．

(1)、求双曲线的方程；

(2)、若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且 $\vec{M Q} + 2 \vec{Q F} = \vec{0}$ ，求直线l的斜率．

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22. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．

(1)、若 $△ P O F_{2}$ 为等边三角形，求C的离心率；

(2)、如果存在点P ，使得 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，且 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积等于16，求b的值和a的取值范围.

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