福建省福州市协作体四校2021-2022学年高二上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2022-11-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线 $x^{2} = \frac{1}{a} y$ 的准线方程是 $y = 2$ ，则实数a的值（）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、8 D、-8

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2. 已知函数 $f (x)$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = 2 x f^{'} (e) + \ln x$ ，则 $f (e) =$ （）

A、 $- \frac{1}{e}$ B、-1 C、1 D、 $e$

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3. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上一点 $M$ 到左焦点 $F_{1}$ 的距离为6， $N$ 是 $M F_{1}$ 的中点，则 $| O N | =$ （）．

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = \sqrt{3} x$ ，它的焦距为2，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{4 y^{2}}{3} - 4 x^{2} = 1$ B、 $4 x^{2} - \frac{4 y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$

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5. 如图，在长方体 $A B C B - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 2$ ， $C C_{1} = 1$ ，则直线 $A D_{1}$ 和 $B_{1} D$ 夹角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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6. 已知圆C的圆心在直线 $y = 6 x$ 上，且与直线 $l ： x + y - 1 = 0$ 相切于点 $(- 2 ， 3)$ ，则圆C方程为（）

A、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 6)}^{2} = 18$ B、 $x^{2} + y^{2} = 18$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 18$ D、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 12$

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7. 我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（）

A、6天 495人 B、7天 602人 C、8天 716人 D、9天 795人

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8. 已知函数 $f (x)$ 为偶函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = e^{x} + x^{2} - c o s x$ ，则不等式 $f (x - 3) - f (2 x - 1) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 2 ， \frac{4}{3})$ B、 $(- \infty ， - 2)$ C、 $(- 2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2) ∪ (\frac{4}{3} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知圆 $M ： {(x - a)}^{2} + {(y - a - 1)}^{2} = 1 (a \in R)$ ，则（）

A、圆 $M$ 可能过原点 B、圆心 $M$ 在直线 $x - y + 1 = 0$ 上 C、圆 $M$ 与直线 $x - y - 1 = 0$ 相切 D、圆 $M$ 被直线 $x - y = 0$ 截得的弦长等于 $\sqrt{2}$

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10. 中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $(2 ， 0)$ 的椭圆的方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ B、 $x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $x^{2} + 4 y^{2} = 1$ D、 $4 x^{2} + y^{2} = 16$

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11. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右焦点，过 $F_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线与C交于 $A ， B$ 两点，若 $△ A B F_{1}$ 为正三角形，则（）

A、 $b = 2$ B、C的焦距为 $2 \sqrt{3}$ C、C的离心率为 $\sqrt{3}$ D、 $△ O B F_{1}$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$

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12. 如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E、F分别为棱A₁D₁、AA₁的中点，G为面对角线B₁C上一个动点，则（）

A、三棱锥 $A_{1} - E F G$ 的体积为定值 B、线段B₁C上存在点G，使平面EFG//平面BDC₁ C、当 $\vec{C G} = \frac{3}{4} \vec{C B_{1}}$ 时，直线EG与BC₁所成角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ D、三棱锥 $A_{1} - E F G$ 的外接球半径的最大值为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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三、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = n^{2} + n + 1$ ，则 $a_{1} + a_{7} =$ .

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14. 若直线 $a x + 2 y + 1 = 0$ 与直线 $x c o s \frac{2 π}{3} + y - 1 = 0$ 互相垂直，则 $a =$ .

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15. 已知点 $F$ 是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点 $A (2 ， y_{1}) ， B (\frac{1}{2} ， y_{2})$ 分别是抛物线上位于第一､四象限的点，若 $| A F | = 10$ ，则 $△ A B F$ 的面积为.

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16. 设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左、右焦点．若 $P$ 是该椭圆上的一个动点，则 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最大值为．

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四、解答题

17. 已知 ${a_{n}}$ 为各项均为正数的等比数列，且 $a_{1} = 3$ ， $a_{4} = 3 a_{2} + 2 a_{3}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = 2 n \cdot a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 前n项和 $S_{n}$ ．

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18. 如图，四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 是某半圆柱的轴截面（过上下底面圆心连线的截面），线段 $A A_{1}$ 是该半圆柱的一条母线，点 $D$ 为线 $A A_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $A B ⊥ A_{1} C$ ；

(2)、若 $A B = A C = 1$ ，且点 $B_{1}$ 到平面 $B C_{1} D$ 的距离为1，求线段 $B B_{1}$ 的长．

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19. 已知公差不为 $0$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，且 $a_{1} + 1$ 、 $a_{2} + 1$ 、 $a_{4} + 1$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ， $n \in N^{*}$ ， $S_{n}$ 是数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求使 $S_{n} < \frac{3}{19}$ 成立的最大的正整数 $n$ .

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20. 设函数 $f (x) = x e^{2 - x} + e x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上的最大值与最小值．

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21. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点F到双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的渐近线的距离为1.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、若不经过原点O的直线l与抛物线C交于A､B两点，且 $O A ⊥ O B$ ，求证：直线l过定点.

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22. 设函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + a l n x$ ．

(1)、若 $a < 0$ ，求 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、在（1）的条件下，证明：若 $f (x)$ 存在零点，则 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \sqrt{e}]$ 上仅有一个零点；

(3)、若存在 $x_{0} \geq 1$ ，使得 $f (x) - \frac{a}{2} x^{2} - x < \frac{a}{a - 1} (a \neq 1)$ ，求 $a$ 的取值范围

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