福建省福州市四校联盟2021-2022学年高二上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2022-11-22 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x + y + 2 = 0$ 的倾斜角 $α$ 是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $- \frac{π}{3}$

查看试题解析
2. 在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上，且 $O M = 2 M A ， N$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2 \vec{a}}{3} + \frac{2 \vec{b}}{3} + \frac{1}{2} \vec{c}$

查看试题解析
3. 已知直线 $l_{1} ： 3 x - 4 y + 7 = 0$ 与直线 $l_{2} ： 6 x - (m + 1) y + 1 - m = 0$ 平行，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
4. 函数 $f (x) = x l n x - 2$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为（）

A、 $2 x + y = 0$ B、 $2 x - y - 4 = 0$ C、 $x - y - 3 = 0$ D、 $x + y + 1 = 0$

查看试题解析
5. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 9$ ， $a_{3} + a_{7} = - 4$ ，则当 $S_{n}$ 取最大值时，n等于（）

A、4 B、5 C、6 D、7

查看试题解析
6. 动圆M与圆 $C_{1}$ ： ${(x + 4)}^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 8 x + 7 = 0$ ，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{15} + y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{15} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{15} = 1 (x \geq 1)$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{15} = 1 (x \leq - 1)$

查看试题解析
7. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数1，3，6，10，…构成数列 ${a_{n}}$ ，记 $a_{n}$ 为该数列的第 $n$ 项，则 $a_{63} =$ （）

A、2016 B、4032 C、2020 D、4040

查看试题解析
8. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点 $F$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与双曲线的左右支各有一个交点，则双曲线的离心率取值范围是（）

A、 $(1 ， \sqrt{3})$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(\sqrt{3} ， + \infty)$ D、 $(2 ， + \infty)$

查看试题解析

二、多选题

9. 下列求导运算不正确的是（）

A、 ${(x + \frac{1}{x})}^{^{'}} = 1 + \frac{1}{x^{2}}$ B、 ${(\frac{s i n x}{x})}^{^{'}} = \frac{x c o s x - s i n x}{x^{2}}$ C、 ${(5^{x})}^{^{'}} = 5^{x} l o g_{5} x$ D、 ${(x^{2} c o s x)}^{^{'}} = - 2 x s i n x$

查看试题解析
10. 下列说法正确的是（）

A、直线 $2 (m + 1) x + (m - 3) y + 7 - 5 m = 0$ 必过定点 $(1 ， 3)$ B、过点 $P (2 ， 1)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 的切线，切线方程为 $2 x + y - 5 = 0$ C、经过点 $P (1 ， 1)$ ，倾斜角为 $θ$ 的直线方程为 $y - 1 = t a n θ (x - 1)$ D、直线 $2 x - y - 1 = 0$ 在x轴上的截距为 $\frac{1}{2}$ ，在y轴上的截距为1

查看试题解析
11. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为它的左右焦点， $A$ ， $B$ 分别为它的左右顶点，点 $P$ 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）

A、存在P使得 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{2}$ B、 $c o s ∠ F_{1} P F_{2}$ 的最小值为 $- \frac{7}{25}$ C、 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为9 D、直线 $P A$ 与直线 $P B$ 斜率乘积为定值 $\frac{9}{25}$

查看试题解析
12. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $E$ ， $F$ 在平面A₁B₁C₁D₁内，若 $| A E | = \sqrt{5}$ ， $A C ⊥ D F$ ，则下述结论正确的是（）

A、 $E$ 到直线 $B C$ 的最大距离为 $\sqrt{5}$ B、点 $F$ 的轨迹是一个圆 C、 $| E F |$ 的最小值为 $\sqrt{2} - 1$ D、直线 $D F$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 1) ， \vec{b} = (- 1 ， 1 ， 0)$ ，且 $k \vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $k =$ ．

查看试题解析
14. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 经过点 $P (2 ， y_{0})$ ， $F$ 为抛物线的焦点，且 $| P F | = 4$ ，则 $y_{0}$ 的值为．

查看试题解析
15. 已知数列 $a_{n} = {\begin{array}{l} 3 \times 2^{n} ， n 为奇数 \\ 2 n - 1 ， n 为偶数 \end{array}$ ，则 $S_{21} =$ ．

查看试题解析
16. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 $x^{2} + (y + 2)^{2} \leq 3$ ，若将军从点 $A (- 4 ， 0)$ 处出发，河岸线所在直线方程为 $x + y - 1 = 0$ ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为．

查看试题解析

四、解答题

17. 圆 $C$ 的圆心为 $C (1 ， 0)$ ，且过点 $A (\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $l$ ： $k x - y + 2 = 0$ 与圆 $C$ 交 $M ， N$ 两点，且 $| M N | = \sqrt{2}$ ，求 $k$ ．

查看试题解析
18. 已知 ${a_{n}}$ 为各项都为正数的等比数列， $a_{1} = 2$ ， $S_{3} = 14$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${(n + 1) a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．

查看试题解析
19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为矩形， $P A ⊥$ 平面ABCD，E为PD的中点．

(1)、证明： $P B / /$ 平面AEC；

(2)、若 $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $A P = 2$ ，求二面角 $D - A E - C$ 的平面角的余弦值．

查看试题解析
20. 为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是 $a_{n}$ 毫克，（即 $a_{1} = m$ ）.

(1)、已知 $m = 12$ ，求 $a_{2}$ ､ $a_{3}$ ；

(2)、该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值.

查看试题解析
21. 设椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右交点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，下顶点为 $A$ .已知椭圆 $C$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，且椭圆 $C$ 过点 $(1 ， \frac{3}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于异于点 $A$ 的两点 $P$ ， $Q$ ，且直线 $A P$ 与 $A Q$ 的斜率之和等于2，证明：直线 $l$ 经过定点.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = l n x - a x + a$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求实数a的值．

查看试题解析