安徽省宿州市十三所重点中学2021-2022学年高二上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2022-11-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{6} = 1$ ，则 $a_{1} + a_{11} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 若函数 $f (x)$ 的导函数是偶函数，则函数 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = 1 + c o s x$ B、 $f (x) = x^{4} + x$ C、 $f (x) = s i n 2 x$ D、 $f (x) = e^{x} - x$

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3. 过点 $P (0 ， 1)$ 作直线与抛物线 $y^{2} = - 4 x$ 相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前2项和为2，前4项和为8，则它的前6项和为（）

A、12 B、22 C、26 D、32

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5. 画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的蒙日圆为 $x^{2} + y^{2} = 10$ ，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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6. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点 $P$ 到直线 $y = x + 3$ 距离的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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7. 某公司的盈利 $y$ （元）与时间 $x$ （天）的函数关系是 $y = f (x)$ ，假设 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}} > 0$ （ $x_{1} > x_{0} \geq 0$ ）恒成立，且 $\frac{f (10) - f (0)}{10} = 10$ ， $\frac{f (20) - f (10)}{10} = 1$ ，则说明后10天与前10天比（）

A、公司亏损且亏损幅度变大 B、公司的盈利增加，增加的幅度变大 C、公司亏损且亏损幅度变小 D、公司的盈利增加，增加的幅度变小

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} (n \in N^{*})$ ，设 $b_{n} = (n - λ) \cdot a_{n} (n \in N^{*})$ ，且数列 ${b_{n}}$ 是单调递增数列，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 3)$ B、 $(3 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 3]$ D、 $[3 ， + \infty)$

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9. 已知函数抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $P$ 在抛物线 $C$ 上，直线 $P F$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，若 $\vec{P F} = 3 \vec{F Q}$ ，则点 $P$ 到焦点 $F$ 的距离为（）

A、5 B、3 C、4 D、6

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10. 已知函数 $f (x) = x^{2} + b x$ 的图象在点 $A (1 ， f (1))$ 处的切线的斜率为3，数列 ${\frac{1}{f (n)}}$ $（ n \in N^{*} ）$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2022}$ 的值为（）

A、 $\frac{2023}{2024}$ B、 $\frac{2020}{2021}$ C、 $\frac{2021}{2022}$ D、 $\frac{2022}{2023}$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} = 3$ ，且 $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 2$ $（ n \in N^{*} ）$ ，则下列说法中错误的是（）

A、 $a_{1} = \frac{1}{2}$ B、 $S_{4} = \frac{79}{2}$ C、 ${a_{n}}$ 是等比数列 D、 ${S_{n} + 1}$ 是等比数列

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12. 过抛物线 $E$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点 $F$ 作两条互相垂直的弦 $A B$ ， $C D$ ，设 $P$ 为抛物线上的一动点， $Q (1 ， 2)$ ，若 $\frac{1}{| A B |} + \frac{1}{| C D |} = \frac{1}{4}$ ，则 $| P F | + | P Q |$ 的最小值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = x \cdot l n x + 1$ ，其导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ，则 $f^{'} (1) =$ .

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14. 抛物线y=ax²(a≠0)的准线方程为．

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15. 已知A(－5，0)，B(5，0)，动点P满足 $| \vec{P B} |$ ， $\frac{1}{2} | \vec{P A} |$ ， 8成等差数列，则点P的轨迹方程为.

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16. 《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题：一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为 $a$ ，当 $a \in [1 ， 2022]$ 时，符合条件的最大的 $a$ 为.

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三、解答题

17. 已知双曲线 $C$ 的焦点在 $x$ 轴上，其渐近线方程为 $y = \pm x$ ，实轴长为2.

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $P (0 ， 1)$ 的直线与双曲线 $C$ 的左、右支各交于一点，求该直线斜率 $k$ 的取值范围.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是以 $- 9$ 为首项，1为公差的等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${| a_{n} |}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 设 $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + a x^{2}}$ ，其中 $a$ 为正实数

(1)、当 $a$ $= \frac{4}{3}$ 时，求 $f (x)$ 的极值点；

(2)、若 $f (x)$ 为 $R$ 上的单调函数，求 $a$ 的取值范围．

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20. 直线 $l$ 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ ，且与抛物线交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 不同的两点，点 $C$ 在抛物线的准线上，且 $B C$ // $x$ 轴.

(1)、证明： $y_{1} y_{2} = - p^{2}$ ；

(2)、判断直线 $A C$ 是否经过坐标原点，并说明理由.

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21. 在 $\frac{1}{9}$ 与 $1$ 中间插入 $n$ 个数，使得这 $n + 2$ 个数构成递增的等比数列，将这 $n + 2$ 个数的乘积记为 $a_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{n}{3} \cdot a_{n}$ ，记 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ 分别为数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明： $2 T_{n} < S_{n}$

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22. 已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为 $A$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .动直线 $l ： y = \frac{1}{m} (x - 1)$ 与 $Γ$ 相交于 $B ， C$ 两点，点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $B^{'}$ ，点 $B^{'}$ 到 $Γ$ 的两焦点的距离之和为4.

(1)、求 $Γ$ 的标准方程；

(2)、若直线 $B^{'} C$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ ， $△ O A C ， △ A M C$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，问 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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