江苏省宿迁市泗阳县2022-2023学年高一上学期数学11月期中试卷

试卷更新日期：2022-11-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 4 ， 5}$ ， $B = {x | | x | < 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 4 ， 5}$

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2. “ $m < 2$ ”是“ $m < 1$ ”的（）条件.

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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3. 命题：“ $\exists x \geq 0$ ， $2 x - 1 \leq 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \geq 0$ ， $2 x - 1 > 0$ B、 $\forall x < 0$ ， $2 x - 1 > 0$ C、 $\forall x \geq 0$ ， $2 x - 1 \leq 0$ D、 $\forall x < 0$ ， $2 x - 1 \leq 0$

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4. 若偶函数 $f (x)$ 在区间 $[3 ， 4]$ 上是增函数，则函数 $f (x)$ 在区间 $[- 4 ， - 3]$ 上是（）

A、减函数且最大值是 $f (- 4)$ B、增函数且最小值是 $f (- 3)$ C、增函数且最大值是 $f (- 3)$ D、减函数且最小值是 $f (- 4)$

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5. 若 $a > b$ 且 $a b > 4$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{b}{a} > \frac{b + 1}{a + 1}$ B、 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$ C、 $a - \frac{b}{a} > b - \frac{a}{b}$ D、 $\frac{2 a + b}{a + 2 b} > \frac{a}{b}$

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6. 已知 $1 0^{m} = 3 ， 1 0^{n} = 5$ ，则 $1 0^{\frac{2 m - 3 n}{2}} =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\pm \frac{3 \sqrt{5}}{25}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{25}$ D、 $\frac{9}{125}$

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7. 已知 $l g 3 \approx 0.4771$ ， $l g 5 \approx 0.6990$ ，设 $N = 4^{10} \times 2 7^{10}$ ，则N所在的区间为（）

A、 $(1 0^{17} ， 1 0^{18})$ B、 $(1 0^{18} ， 1 0^{19})$ C、 $(1 0^{19} ， 1 0^{20})$ D、 $(1 0^{20} ， 1 0^{21})$

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8. 定义域为R的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = f (x)$ ， ${[f (x)]}^{4} - (4 + x^{2}) {[f (x)]}^{2} + 4 x^{2} = 0$ 任意的实数 $x$ 都成立，且值域为 $[0 ， 2]$ ．设函数 $g (x) = {\begin{array}{l} 2 x - m - 2 ， x \leq 2 \\ - m + 2 ， x > 2 \end{array} ，$ 若对任意的 $x_{1} \in (- 4 ， - 1)$ ，都存在 $x_{2} > 0$ ，使 $g (x_{2}) = f (x_{1})$ 成立，则实数m的取值范围为（）

A、 $[- 3 ， 0]$ B、 $[- 2 ， 0]$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $(0 ， 1]$

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二、多选题

9. 已知全集 $U = Z$ ，集合 $A = {x | 2 x + 3 > 0 ， x \in Z}$ ， $B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ ，则（）

A、 $A ∩ B = {- 1 ， 0 ， 1}$ B、 $A \cup B = {x | x > - 1}$ C、 $(∁_{U} A) \cap B = {- 2}$ D、 $A \cap B$ 的真子集个数是7

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10. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- 3 ， 4)$ ，则（）

A、 $a < 0$ B、不等式 $b x + c > 0$ 的解集是 ${x | x > - 12}$ C、函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的零点为 $(- 3 ， 0)$ 和 $(4 ， 0)$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a > 0$ 的解集为 $(- \infty ， - \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{3} ， + \infty)$

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11. 下列命题是真命题的有（）

A、若函数 $f (x)$ 为奇函数，则 $f (0) = 0$ B、若 $x + x^{- 1} = 3$ ，则 $x^{2} + x^{- 2} = 7$ C、不等式 $\frac{2 x + 1}{x + 4} \leq 1$ 的解集是 ${x | - 4 \leq x \leq 3}$ D、若 $3^{a} = 4^{b} = 12$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$

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12. $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，若 $f (x) - x^{2}$ 是奇函数， $f (x) + x$ 是偶函数，函数 $g (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， x \in [0 ， 1] \\ 4 g (x - 1) ， x \in (1 ， + ∞) \end{array}$ ，则下列选项正确的有（）

A、 $f (2) = 2$ B、 $\frac{g (\frac{2 k + 1}{2})}{g (\frac{2 k - 1}{2})} = 16 (k \in N^{*})$ C、 $g (\frac{2025}{2}) = - 2^{2022}$ D、当 $x \in (1 ， 2)$ 时， $g (x) = 4 x^{2} - 12 x + 8$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x + 2) = 2 x^{2} + 4 x + 3$ ，则 $f (x) =$ ．

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14. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 3$ ，则 $\frac{1}{a + 1} + \frac{4}{b}$ 的最小值为．

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15. 已知 $a = l g 2$ ， $1 0^{b} = 3$ ，则 $l o g_{18} 5 =$ ．（用a，b表示）

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16. $f (x)$ 是定义域为R的偶函数，满足 $f (2) = 4$ ，对于任意的 $x_{1} ， x_{2} > 0$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1}^{2} - x_{2}^{2}} < 2$ 成立．如果 $f (m) < 2 m^{2} - 4$ ，则实数m的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x - 4 \leq 0}$ ， $B = {x | 4 - m \leq x \leq 3 m - 1}$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求实数m的取值范围．

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18. 计算：

(1)、 $8^{\frac{2}{3}} - (2 \frac{1}{4})^{- \frac{1}{2}} + π^{0} + \sqrt{(- \frac{2}{3})^{2}}$ ；

(2)、 $2 l o g_{6} 2 - l o g_{6} \frac{1}{9} + e^{l n 18} + {(l g 2)}^{2} + l g 2 \cdot l g 5 + l g 5$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = 4 x^{2} + \frac{1}{x} (x \geq \frac{1}{2})$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并用函数单调性的定义证明；

(2)、记函数 $f (x)$ 的最小值为m，集合 $A = {x | x = \frac{3 n + 36}{n^{2}} ， n \in N^{*}}$ ，判断m是否属于集合A，并说明理由.

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20. 设命题 $p$ ：存在 $x \in [0 ， 2]$ ，不等式 $2 x - 7 \geq m^{2} - 4 m$ 成立；命题 $q$ ：对任意 $x \in [- 2 ， 2]$ ，不等式 $x^{2} - m x - 8 < 0$ 恒成立．

(1)、若 $p$ 为真命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $p ， q$ 有且只有一个为真命题，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本为 $P (x)$ 万元，且 $P (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{100} x^{3} - x^{2} + 28 x ， 1 \leq x \leq 100 \\ \frac{1}{300} x^{2} + x + 75 ， x > 100 \end{array} (x \in N)$ .

(1)、若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台机器人?

(2)、现按（1）中的数量购买机器人，需要安排 $n$ 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量为 $q (n) = {\begin{array}{l} \frac{8}{5} n (50 - n) ， 1 \leq n \leq 25 \\ 1000 ， n > 25 \end{array}$ （单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1000件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少?

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22. 经过函数性质的学习，我们知道：“函数 $y = f (x)$ 的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“ $y = f (x)$ 是奇函数”．

(1)、若 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 1$ ，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(a ， 0)$ 成中心对称图形”的充要条件是“ $y = f (x + a)$ 为奇函数”．若定义域为 $R$ 的函数 $g (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 成中心对称图形，且当 $x > 1$ 时， $g (x) = 1 - \frac{1}{x}$ ．
（i）求 $g (x)$ 的解析式；
（ii）若函数 $f (x)$ 满足：当定义域为 $[a ， b]$ 时值域也是 $[a ， b]$ ，则称区间 $[a ， b]$ 为函数 $f (x)$ 的“保值”区间，若函数 $h (x) = t g (x) (t > 0)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上存在保值区间，求 $t$ 的取值范围．

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