山西省太原市2022届高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | | x | < 1} ， B = {x | l o g_{2} x < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， 2)$

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2. 在复平面内，复数z满足iz=1+i，则 $z =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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3. 已知点 $O ， P$ 在 $△ A B C$ 所在平面内，满 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ， $| \vec{P A} | = | \vec{P B} | = | \vec{P C} |$ ，则点 $O ， P$ 依次是 $△ A B C$ 的（）

A、重心，外心 B、内心，外心 C、重心，内心 D、垂心，外心

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4. 从2007年10月24日18时05分，我国首颗绕月人造卫星“嫦娥一号”成功发射以来，中国航天葆有稳步前进的力量，标志着中国人一步一步将“上九天缆月”的神话变为了现实，月球距离地球大约38万千米，有人说，在理想状态下，将一张厚度约为0.1毫米的纸对折 $n$ 次，其厚度就可以超过月球与地球之间的距离，那么至少对折的次数 $n$ 是（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.30 ， l g 3.8 \approx 0.58$ ）

A、41 B、42 C、43 D、44

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5. 已知 $s i n (α - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{6}}{4}$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{8}$

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6. 已知m，n是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m \subset α ， n \subset β ， α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $m \subset α ， n \subset β ， α / / β$ ，则 $m / / n$ C、若 $m ⊥ α ， n ⊥ β ， m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m \subset α ， m / / β ， n \subset β ， n / / α$ ，则 $α / / β$

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7. 已知函数 $f (x) = e^{- | x |}$ ， $a = f (s i n \frac{1}{2}) ， b = f (l n \frac{1}{3}) ， c = f (l o g_{6} 3)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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8. 若曲线 $y = \sqrt{x + 1}$ 和y＝x²＋mx＋1有公切线，则实数m＝（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、－1

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二、多选题

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = - n^{2} + 9 n (n \in N^{*})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 ${a_{n}}$ 是等差数列 B、 $a_{4} + a_{6} = 0$ C、 $a_{9} < a_{10}$ D、 $S_{n}$ 有最大值 $\frac{81}{4}$

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10. 已知 $l n (m - n) > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $y = e^{m - n}$ 有最小值 B、 $y = (m - n) + \frac{2}{m - n}$ 有最小值 C、 $s i n (m - n) > c o s (m - n)$ D、 $2^{m} - 2^{n} > 3^{- m} - 3^{- n}$

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11. 已知 $a ， b ， c$ 分别是 $△ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 的对边， $c o s C < 0$ ，且 $t a n B = \frac{b}{c}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $0 < B < \frac{π}{6}$ B、 $s i n B + c o s C = 0$ C、 $c o s A + c o s B + c o s C \in (1 ， \frac{5}{4}]$ D、 $c o s A + c o s B + c o s C \in (- 1 ， \frac{5}{4}]$

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12. 已知四棱锥S－ABCD的底面是矩形， $A B = 2 ， A D = S A = \sqrt{6} ， S D = 2 \sqrt{2} ， S A ⊥ A B$ ，则下列结论正确的是（）

A、平面SAD⊥平面SAB B、BC⊥平面SAB C、直线SC与平面ABCD所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$ D、四棱锥S－ABCD外接球的表面积为13 $π$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (1 ， 0) ， \vec{b} = (1 ， 1)$ ，若 $(λ \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则实数 $λ =$ ．

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14. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = S_{n} + 2 (n \in N^{*})$ ，则 $a_{n} =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{6}) + k (ω > 0)$ 的最小正周期为T，若 $π < T < 2 π$ ，且当 $x = \frac{5 π}{4}$ 时， $f (x)$ 取得最小值1，则 $f (\frac{π}{4}) =$ ．

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16. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = e^{x} f (- x)$ ，且 $f (1) = \sqrt{e} ， f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，当 $x \in [0 ， + \infty)$ 时， $f^{'} (x) < \frac{1}{2} f (x)$ ，则不等式 $\sqrt{e} f (x - 1) < e^{\frac{x}{2}}$ 的解集为．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | \frac{1}{8} < 2^{x} \leq 32}$ ， $B = {x | 3 a - 2 \leq x \leq 2 a + 1}$ ，且 $B ≠ ∅$ ．

(1)、若命题“ $\forall x \in B ， x \in A$ ”为真命题，求实数a的取值范围；

(2)、若 $(∁_{R} A) \cap B \neq \emptyset$ ，求实数a的取值范围．

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18. 已知 $f (x) = l o g_{2} (4^{x} + 1) + k x (k \in R)$ 是偶函数．

(1)、求实数k的值；

(2)、求不等式 $2^{f (x) + x} > 2^{x} + 3$ 的解集．

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19. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3}) - c o s (2 x + \frac{π}{6}) + \sqrt{3} (1 - 2 s i n^{2} x)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、记 $a ， b ， c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 的对边，且 $f (\frac{A}{2}) = \sqrt{3}$ ， $B C$ 的中线 $A D = 3$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2} ， a_{n + 1} + a_{n} = n (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{2 n - 1} + a_{2 n} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${\frac{b_{n}}{2^{n}}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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21. 如图，PO是三棱锥P－ABC的高，点D是PB的中点， $A B ⊥ A C$ ．

(1)、从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，证明另一个条件成立；

(2)、若 $∠ A B C = 6 0^{∘}$ ， OB平分 $∠ A B C$ ， PB＝5，PO＝3，在（1）的条件下，求平面PAB与平面PAC夹角的余弦值．
条件①：OD//平面PAC；条件② $P A = P B$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = s i n x - x + m l n x$ ， $m$ 是非零常数．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上是减函数，求 $m$ 的取值范围；

(2)、设 $α \in (π ， \frac{3 π}{2})$ ，且满足 $c o s α = 1 + α s i n α$ ，证明：当 $0 < m < - α^{2} s i n α$ 时，函数 $f (x)$ 在 $(0 ， 2 π)$ 上恰有两个极值点．

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