福建省宁德市2023届高三上学期数学期中区域性学业质量检测试卷（C卷）

试卷更新日期：2022-11-22 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 若 $(2 + i) (1 - 2 i) =$ （）

A、 $- 3 i$ B、 $- 5 i$ C、 $4 - 3 i$ D、 $- 5 i$

查看试题解析
2. 设集合 $M = {x ∣ y = l n (x^{2} - 1)}$ ， $N = {y ∣ y = \sqrt{1 - x^{2}}}$ ，则 $(∁_{R} M) \cap N =$ （）

A、 $\emptyset$ B、（－∞，1] C、（－1，1] D、[0，1]

查看试题解析
3. 已知 $α \in (\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2})$ ，且 $c o s (\frac{π}{2} + a) = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{5}}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、－ $\frac{1}{9}$ D、 $- \frac{4 \sqrt{5}}{9}$

查看试题解析
4. 1935年美国物理学家、地震学家里克特，为了解决大尺度问题的压缩，设计了一种度量方式：里克特震级，简称里氏震级，后来经同行古登堡的改进和完善，得到了震级的计算公式 $M = l g \frac{A}{A_{0}}$ ，其中 $A$ 是被测地震的最大振幅， $A_{0}$ 是标准地震的振幅，并通过研究得出了地震时释放出的能量 $E$ （单位：焦耳）与地震里氏震级 $M$ 之间的关系， $l g E = 4.8 + 1.5 M$ ．请问9.0级地震释放的能量是3.0级地震的约多少倍？（）

A、 $1 0^{\frac{3}{2}}$ B、 $1 0^{3}$ C、 $1 0^{6}$ D、 $1 0^{9}$

查看试题解析
5. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a x^{2} - x + 1$ ，则“ $f (x)$ 有极值”是 $a < - \frac{1}{2}$ （）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
6. 函数 $f (x) = x - l o g_{2} (4^{x} + 1)$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
7. 设 $a = 0 . 3^{0.3} ， b = 0 . 3^{0.5} ， c = 0 . 5^{0.3} ， d = 0 . 5^{0.5}$ ，则 $a ， b ， c ， d$ 的大小关系为（）

A、 $b > d > a > c$ B、 $b > a > d > c$ C、 $c > a > d > b$ D、 $c > d > a > b$

查看试题解析
8. 对于数列{ $a_{n}$ }，若对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $\frac{a_{n + 2} + a_{n}}{2} \leq a_{n + 1}$ ，则称该数列{ $a_{n}$ }为“凸数列”．设 $b_{n} = 2^{m} - \frac{m n^{2} - n}{2^{n}}$ ，若 $b_{5} ， b_{6} ， b_{7} ， ⋯ ⋯ ， b_{n} (n \geq 5 ， n \in N^{*})$ 是凸数列，则实数m的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{3} ， + \infty)$ B、 $[\frac{15}{77} ， + ∞)$ C、 $[\frac{1}{3} ， + \infty)$ D、 $[\frac{3}{5} ， + \infty)$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{^{'}} (x)$ ，若存在 $x_{0}$ 使得 $f (x_{0}) = f^{'} (x_{0})$ ，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的一个“巧值点”，下列选项中有“巧值点”的函数是（）

A、 $f (x) = x$ B、 $f (x) = e^{x}$ C、 $f (x) = t a n x$ D、 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

查看试题解析
10. 已知正数a，b满足 $a + b < 1$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} > 9$ B、 $a^{2} + b^{2} < \frac{1}{2}$ C、 $a b < \frac{1}{4}$ D、 $\frac{a - b}{l n a - l n b} < \frac{1}{2}$

查看试题解析
11. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数 $y = A s i n ω x$ ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型函数f（x），其图象是由 $y = s i n x$ 的图象向右平移 $φ (0 < φ < π)$ 个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{3}$ 倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长到原来的2倍而得到，若 $f (x) = f (\frac{π}{6} - x)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $y = f (x)$ 的图像关于点（ $- \frac{π}{12}$ ， 0）中心对称 B、f（x）在 $(- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6})$ 单调递减 C、若一个奇函数的图象向左平移 $n (n > 0)$ 个单位长度后，可得f（x）的图象，则n的最小值为 $\frac{π}{12}$ D、若 $f (x) = k$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 有解，则k的取值范围是 $(0 ， 2]$

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{^{'}} (x)$ 定义域均为 $R$ ， $f^{^{'}} (x)$ 为奇函数， $f (x + 1) + f^{'} (x - 3) = 2$ ， $f (- x + 3) = - f^{'} (- x + 3)$ ，则（）

A、 $f (2020) = 0$ B、 $f^{'} (2020) = 0$ C、 $f (2022) = 1$ D、 $f^{'} (2022) = 1$

查看试题解析

三、填空题

13. 曲线 $y = \frac{x}{x + 1}$ 在原点处的切线方程为．

查看试题解析
14. 已知角 $α$ 的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点A（1，－2）．将角 $α$ 的终边绕O点顺时针旋转 $\frac{π}{4}$ 后得到角 $β$ 的终边，则tan $β$ ＝．

查看试题解析
15. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = - 5$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + 2 n - 7 (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ ），则数列 ${\frac{1}{4 a_{n} + 35}}$ 的前 $n$ 项和的最小值为．

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = 6 c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ ，对 $\forall x \in R$ 都有 $f (x) \leq | f (\frac{π}{6}) |$ ，且 $x = - \frac{π}{6}$ 是f（x）的一个零点．若f（x）的周期大于π，则 $ω$ ＝；若 $y = f (x) - 6$ 在 $(\frac{π}{15} ， \frac{π}{6})$ 上有且只有一个零点，则 $ω$ 的最大值为．

查看试题解析

四、解答题

17. 在① $S_{n} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{3}{2} n + t$ ；② $a_{2} = 3 ， a_{1} ， a_{3} ， a_{7}$ 成等比数列；③ $2 S_{n} = a_{n}^{2} + a_{n} - 2$ ；这三个条件中任选一个，补充在下面试题的空格处中并作答．
已知 ${a_{n}}$ 是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ，且____．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、定义在数列 ${a_{n}}$ 中，使 $l o g_{3} (a_{n} + 1)$ 为整数的 $a_{n}$ 叫做“调和数”，求在区间[1，2022]内所有“调和数”之和 $T_{n}$ ．

查看试题解析
18. 如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，E为线段AD的中点， $B E = \sqrt{3}$ ， $P B = 2$ ， $∠ B P E = 6 0^{∘}$ ， BC⊥平面PBE．

(1)、证明：PE⊥平面ABCD；

(2)、当AD为多少时，平面PBE与平面PCD所成的二面角为 $3 0^{∘}$ ．

查看试题解析
19. 锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} b c o s A + a s i n B = \sqrt{3} c$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3}$ ， D为AC的中点，求BD的取值范围．

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = e^{x} (a + e^{x}) - a^{2} x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \geq$ 0，求a的取值范围．

查看试题解析
21. 根据《中华人民共和国道路交通安全实施条例》第78条规定，高速公路应当标明车道的行驶速度，某高速公路标明，正常行驶车辆的最高车速不能超过120km/h，最低车速不能低于60km/h，设计该高速公路时，还要求安全车距S（单位：米）应随着车速v（单位km/h）的增大而增大，且满足关系 $S \geq \frac{1}{1800000} S_{0}^{2} v^{2} + \frac{6}{5} S_{0} - 15$ ， $S_{0}$ （单位：米）表示该高速公路的最小车距是定值．

(1)、求最小车距 $S_{0}$ ；

(2)、若车速v（单位：km/h）与每小时车流量Q满足关系 $Q (v) = - \frac{1}{2} v^{3} + \frac{45 \sqrt{3}}{2} v^{2} + 4500 v - 205000 \sqrt{3}$ ，则这条高速公路每小时车流量最大时，安全车距S至少为多少米？

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = l n x - a x + 1$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 零点；

(2)、若 $a > 1$ ，证明： $f (x) < s i n x$ ．

查看试题解析