江苏省连云港市东海县2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-11-22 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 直线 $x + y + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $- 45 °$ B、 $45 °$ C、 $90 °$ D、 $135 °$

查看试题解析
2. 已知 $A (a ， 2) ， B (- 2 ， - 3) ， C (1 ， 6)$ 三点，且 $| A B | = | A C |$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

查看试题解析
3. 与双曲线 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{10} + y^{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{13} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

查看试题解析
4. 圆 $O_{1} ： x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ 与圆 $O_{2} ： x^{2} + y^{2} - 4 y + 1 = 0$ 的位置关系为（）

A、内切 B、相交 C、外切 D、外离

查看试题解析
5. 已知直线 $6 x - 8 y + 3 = 0$ 与直线 $y = k x + k - 1$ 平行，则它们之间的距离为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

查看试题解析
6. 已知点 $A (- 8 ， 0)$ 和点 $B (- 4 ， 0)$ ，动点M与点A的距离是它与点B的距离的 $\sqrt{2}$ 倍，则点M的轨迹方程为（）

A、 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 16$ B、 $x^{2} + y^{2} = 16$ C、 $(x - \sqrt{2})^{2} + y^{2} = 32$ D、 $x^{2} + y^{2} = 32$

查看试题解析
7. 已知等边三角形的一个顶点位于抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ 的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（）

A、 $4 \pm 2 \sqrt{3}$ B、 $3 \pm 2 \sqrt{3}$ C、 $4 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $3 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
8. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $F$ ，椭圆 $C$ 上存在点 $P$ ，使得 $P F ⊥ O P$ ，则椭圆 $C$ 的离心率取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ B、 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ D、 $[\frac{1}{2} ， 1)$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，则（）

A、双曲线C的虚轴长为 $\sqrt{3}$ B、双曲线C的实轴长为2 C、双曲线C的离心率为2 D、双曲线C的渐近线方程为 $y = \pm 3 x$

查看试题解析
10. 已知 $△ A B C$ 的三个顶点为 $A (4 ， 2) ， B (2 ， 6) ， C (5 ， 3)$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 为直角三角形 B、 $△ A B C$ 的面积为3 C、 $△ A B C$ 边 $A B$ 上的中线所在直线方程为 $x - 2 y + 1 = 0$ D、 $△ A B C$ 的外接圆方程为 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 20 = 0$

查看试题解析
11. 已知曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a} - \frac{y^{2}}{b} = 1$ ，则下列判断正确的是（）

A、若 $a = - b > 0$ ，则 $C$ 是圆，其半径为 $a$ B、若 $a b > 0$ ，则 $C$ 是双曲线，其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{\frac{b}{a}} x$ C、若 $- a < b < 0$ ，则 $C$ 是椭圆，其焦点在 $x$ 轴上 D、若 $a = b = 1$ ，则 $C$ 是两条直线

查看试题解析
12. 抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设A，B是抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 上两个不同的点，以A，B为切点的切线交于P点．若弦AB过 $F (0 ， 1)$ ，则下列说法正确的有（）

A、点P在直线 $y = - 1$ 上 B、 $A P ⊥ B P$ C、 $A B ⊥ P F$ D、 $△ P A B$ 面积的最小值为8

查看试题解析

三、填空题

13. 圆 $x^{2} + y^{2} - x - y = 0$ 的半径为．

查看试题解析
14. 若点 $A (5 ， - 2)$ 和点 $B (m ， n)$ 关于直线 $x - y + 1 = 0$ 对称，则 $m + n =$ ．

查看试题解析
15. 设 $P$ 是双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上不同于左顶点 $A$ 、右顶点 $B$ 的任意一点，记直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若双曲线 $E$ 的离心率为 $3$ ，则 $k_{1} \cdot k_{2} =$ ．

查看试题解析
16. 圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 的一条切线l，与抛物线 $y^{2} = x$ 相交于A，B两点，与x轴相交于点M．若 $\vec{A M} = 2 \vec{M B}$ ，则切线l的斜率 $k =$ ．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知三条直线 $l_{1} ： 2 x + y - 1 = 0$ ， $l_{2} ： 3 x - 2 y + 9 = 0$ 和 $l_{3} ： a x - (a + 1) y - 7 a - 5 = 0$ ．

(1)、若 $l_{1} ⊥ l_{3}$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若三条直线相交于一点，求实数 $a$ 的值．

查看试题解析
18. 从下面两个条件中任选一个，补充在问题中并进行求解．
①与直线 $x = 0$ 相切，②被直线 $y = 3$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{15}$ ．

问题：已知圆 $C$ 经过点 $A (2 ， 2)$ 和 $B (10 ， 6)$ ，且_______，求圆 $C$ 的方程．

注：如果选择多个条件进行解答，则按第一个解答计分．

查看试题解析
19. 将圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线 $E$ ．

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、设点 $A (0 ， 1)$ ，点 $P$ 为曲线 $E$ 上任一点，求 $| P A |$ 的最大值．

查看试题解析
20. 已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线 $C$ 经过点 $(4 ， \sqrt{13})$ ，斜率为 $2$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $△ O A B$ （ $O$ 为坐标原点）的面积为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、求直线 $l$ 的方程.

查看试题解析
21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点A，B（不与O重合）是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上两个动点，且满足 $O A ⊥ O B$ ．

(1)、当AB垂直x轴时，求三角形OAB的面积；

(2)、探究x轴上是否存在点P使得 $∠ O P A = ∠ O P B$ ？若存在求出点P的坐标，若不存在请说明理由．

查看试题解析
22. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 16$ ，直线 $x - 2 y - 8 = 0$ 与圆O交于A，B两点．

(1)、求 $| A B |$ ；

(2)、设过点 $P (2 ， - 4)$ 的直线交圆O于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点S满足 $\vec{M S} = 2 \vec{M T}$ ．证明：直线SN过定点．

查看试题解析