2023年春季湘教版数学九年级下册第一章《二次函数》单元检测B

试卷更新日期：2022-11-21 类型：单元试卷

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 关于二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} + 5$ ，下列说法正确的是（）

A、函数图象的开口向下 B、函数图象的顶点坐标是 $(- 1 ， 5)$ C、该函数有最大值，是大值是5 D、当 $x > 1$ 时，y随x的增大而增大

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2. 根据如图所示的二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象，判断反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 与一次函数 $y = b x + c$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣ $\frac{1}{2}$ ，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax²+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）

A、①③ B、②④ C、③④ D、②③

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4. 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y₁）、点B（﹣ $\frac{1}{2}$ ， y₂）、点C（ $\frac{7}{2}$ ， y₃）在该函数图象上，则y₁＜y₃＜y₂；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）.其中正确的结论有（）

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

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5. 已知二次函数y=x²+ax+b(a，b为常数)．命题①：该函数的图象经过点(1，0)；命题②：该函数的图象经过点(3，0)；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④；该函数的图象的对称轴为直线x=1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（）

A、命题① B、命题② C、命题③ D、命题④

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6. 已知抛物线y＝ax²＋bx＋c（a $\neq$ 0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（）

A、a＞0 B、a＋b＝3 C、抛物线经过点（－1，0） D、关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根

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7. 如图，抛物线 $L_{1} ： y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴只有一个公共点A（1，0），与 $y$ 轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线 $L_{2}$ ，则图中两个阴影部分的面积和为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ $(a \neq 0)$ 的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为 $x = - 1$ ，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：① $b = 2 a$ ；② $- 3 < a < - 2$ ；③ $4 a c - b^{2} < 0$ ；④若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = m - 4$ $(a \neq 0)$ 有两个不相等的实数根，则m>4；⑤当x<0时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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9. 定义： $\min {a ， b} = {\begin{array}{l} a (a \leq b) \\ b (a > b) \end{array}$ ，若函数 $y = \min (x + 1 ， - x^{2} + 2 x + 3)$ ，则该函数的最大值为（）

A、0 B、2 C、3 D、4

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10. 抛物线 $y = - x^{2} + 2 m x - m^{2} + 2$ 与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点 $M (m - 1 ， y_{1})$ ， $N (m + 1 ， y_{2})$ 为图形G上两点，若 $y_{1} < y_{2}$ ，则m的取值范围是（）

A、 $m < - 1$ 或 $m > 0$ B、 $- \frac{1}{2} < m < \frac{1}{2}$ C、 $0 \leq m < \sqrt{2}$ D、 $- 1 < m < 1$

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二、填空题（每空3分，共18分）

11. 如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线 $y = - 0.2 x^{2} + x + 2.25$ 运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离 OH 是 m .

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12. 已知二次函数 $y = - x^{2} - 2 x + 3$ ，当 $a ⩽ x ⩽ \frac{1}{2}$ 时，函数值y的最小值为1，则a的值为．

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13. 在平面直角坐标系中，将抛物线 $y = x^{2} + 2 x - 1$ 先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是.

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14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若抛物线 $y = x^{2} + 2 x + k$ 与x轴只有一个交点，则 $k =$ .

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15. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (2 ， 4)$ 在抛物线 $y = a x^{2}$ 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B ，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为．

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16. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与x轴的正半轴交于点A ，对称轴为直线 $x = 1$ ，下面结论：

① $a b c < 0$ ；

② $2 a + b = 0$ ；

③ $3 a + c > 0$ ；

④方程 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 必有一个根大于 $- 1$ 且小于0．

其中正确的是（只填序号）．

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 打油茶是广西少数民族特有的一种民俗，某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示.

(1)、求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(2)、当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大?求出最大利润.

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18. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ （b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点， $A (1 ， 0)$ ， $A B = 4$ ，点P为线段 $A B$ 上的动点，过P作 $P Q ∥ B C$ 交 $A C$ 于点Q．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、求 $△ C P Q$ 面积的最大值，并求此时P点坐标．

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19. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (2 ， - 3)$ ，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、抛物线上是否存在点P，使 $△ P B C$ 的面积是 $△ B C D$ 面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．

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20. 如图，二次函数 $y_{1} = x^{2} + m x + 1$ 的图象与y轴相交于点A，与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象相交于点B(3，1).

(1)、求这两个函数的表达式；

(2)、当 $y_{1}$ 随x的增大而增大且 $y_{1} < y_{2}$ 时，直接写出x的取值范围；

(3)、平行于x轴的直线l与函数 $y_{1}$ 的图象相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数 $y_{2}$ 的图象相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.

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21. 已知二次函数y=ax²+4ax+b.

(1)、求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；

(2)、在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(−1，e)，(−3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；

(3)、点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当−2≤m≤1时，n的取值范围是−1≤n≤1，求二次函数的表达式.

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22. 如图，已知点M（x₁ ， y₁），N（x₂ ， y₂）在二次函数y＝a（x﹣2）²﹣1（a＞0）的图象上，且x₂﹣x₁＝3．

(1)、若二次函数的图象经过点（3，1）.
①求这个二次函数的表达式；

②若y₁＝y₂ ，求顶点到MN的距离；

(2)、当x₁≤x≤x₂时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围.

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23. 如图1，抛物线y＝ax²+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；

(3)、如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；

(4)、如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．

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24. 如图①，已知抛物线L：y＝x²+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC $∥$ x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．

(1)、求抛物线的关系式；

(2)、若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；

(3)、将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；

(4)、如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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2023年春季湘教版数学九年级下册第一章 《二次函数》单元检测B

一、单选题（每题3分，共30分）

二、填空题（每空3分，共18分）

三、解答题（共8题，共72分）

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