山西省吕梁孝义市2022-2023学年九年级上学期期中质量监测数学试题

试卷更新日期：2022-11-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列方程中，是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} + y^{2} = 1$ B、 $3 x^{2} + 1 = 6 x$ C、 $3 x + 2 = 0$ D、 $x^{2} + \frac{2}{x} = 1$

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2. “保护生态，人人有责”，下列生态环保图片中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（）

A、 $2 x^{2} = x$ B、 $9 x^{2} - 12 x + 4 = 0$ C、 $x^{2} + x + 1 = 0$ D、 $x (x + 4) + 5 = 0$

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4. 将抛物线 $y = {(x - 3)}^{2} - 4$ 向先左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是（）

A、 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ B、 $y = {(x - 1)}^{2} - 3$ C、 $y = {(x - 2)}^{2} - 2$ D、 $y = {(x - 4)}^{2} - 2$

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5. 若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴的两个交点为 $(- 2 ， 0)$ ， $(4 ， 0)$ ，则该抛物线的对称轴为（）

A、直线 $x = - 3$ B、直线 $x = 3$ C、直线 $x = 1$ D、直线 $x = - 1$

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6. 用直接开平方法解方程 ${(2 x - 3)}^{2} = 4$ 时，可以将其转化为 $2 x - 3 = 2$ 或 $2 x - 3 = - 2$ ，其依据的数学知识是（）

A、完全平方公式 B、平方根的意义 C、等式的性质 D、一元二次方程的求根公式

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7. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 50 °$ ，将 $△ A B C$ 以C为旋转中心，顺时针旋转角度 $α$ （ $0 ° < α < 180 °$ ），若 $A^{'} B^{'}$ 的中点O恰好在AC上，则旋转角 $α$ 的度数是（）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $130 °$ D、 $140 °$

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8. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $a b c < 0$ B、 $2 a - b = 0$ C、 $4 a + 2 b + c > 0$ D、关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根

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9. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111．若设每个支干长出的小分支的个数是x，则下面所列方程正确的是（）

A、 ${(1 + x)}^{2} = 111$ B、 $1 + x + {(x + 1)}^{2} = 111$ C、 $1 + x + x^{2} = 111$ D、 $x + x^{2} = 111$

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10. 如图，线段 $A B = 1$ ，在线段AB上找一点C，C把 $A B$ 分为 $A C$ 和 $B C$ 两段，其中 $A C < B C$ ，若 $\frac{A C}{C B} = \frac{C B}{A B}$ ，则点C就叫做线段 $A B$ 的黄金分割点，其中 $\frac{A C}{C B}$ （或 $\frac{C B}{A B}$ ）的值叫做黄金分割数．则黄金分割数是（）

A、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\sqrt{5} + 1$ D、 $\sqrt{5} - 1$

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二、填空题

11. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，将 $△ A B C$ 以B为中心逆时针方向旋转，得到 $△ B D E$ ，当点C的对应点E落在边AB上时，线段AD的长度值是．

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12. 若抛物线 $y = 2 x^{2} + 12 x - c$ 的顶点在x轴上，则c的值是．

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13. 在2022年第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛女团决赛中，国乒女团零封日本女团，实现五连冠，第22次捧起象征“最强女子乒团”的荣誉——考比伦杯．此次世锦赛小组赛中，中国乒乓球女队被分在A组，在本组单循环赛中（每两个队之间比赛一场）共进行了10场比赛，则在A组中共有个国家的女队参加了比赛．

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14. 已知点 $A (h - 1 ， k_{1})$ 和 $B (h + 2 ， k_{2})$ 都在二次函数 $y = - 2 {(x - h)}^{2} + 3$ 的图象上，则 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 的大小关系是．

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15. 有一块三角形材料如图所示， $∠ A = 30 °$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 8$ ．用这块材料剪出一个 $▱ E F D B$ ，其中，点D，E，F分别在 $B C$ ， $A B$ ， $A C$ 上．则剪出的 $▱ E F D B$ 的面积的最大值是．

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三、解答题

16. 解方程

(1)、 $2 x^{2} - 4 x = - 1$

(2)、 $x^{2} - 16 = x + 4$

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17. 已知抛物线 $y = 2 x^{2} - 6 x + 3$ ．请用配方法将其化为 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式，并写出其开口方向、对称轴及顶点坐标．

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18. 某农户种植有图1所示蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中 $O A$ 是地面所在的水平线，点O是塑料顶棚与地面的交点， $A B$ 是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面 $O A$ 的高度是3米．现以 $O A$ 所在直线为x轴，过点O垂直于 $O A$ 的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若保温墙 $A B$ 到点O的距离 $O A = 8$ 米．请你求出保温墙AB的高度．

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19. 如图，在平面直角坐标系中， $A$ （2，1）， $B$ （4，3）， $C$ （1，3）．

(1)、若 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 关于原点成中心对称（点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 分别与点A，B，C对应），试在图中画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、将 $△ A B C$ 以C为中心顺时针旋转90°得到 $△ A_{2} B_{2} C$ ，试在图中画出 $△ A_{2} B_{2} C$ ；

(3)、若 $△ A_{2} B_{2} C$ 可由 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 以点P为中心旋转得到，则点P的坐标是．

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20. 阅读下列材料，并完成相应学习任务：
古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，…数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数．
所有的三角形数都具有如图2所示的规律．
学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题：

(1)、请判断78是第几个三角形数？写出判断过程．

(2)、若相邻两个三角形数的和是121，求这两个三角形数．

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21. 山西土豆（马铃薯）色泽光鲜，含淀粉高，不容易腐烂，具有比其它地方土豆多淀粉、蛋白质、维生素C等营养成分．某合作社2020年到2022年每年种植土豆100亩，2020年土豆的平均亩产量为1000千克，2021年到2022年引进先进的种植技术，2022年土豆的平均亩产量达到1440千克．

(1)、若2021年和2022年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？

(2)、2023年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2022年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？

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22. 综合与实践
问题情境：如图1，四边形 $A B C D$ 和 $E F C G$ 都是正方形，点G，F分别在边 $C D$ 和 $C B$ 上，点E在正方形 $A B C D$ 的内部．

(1)、猜想证明：
$D G$ 和 $B F$ 的位置关系是， $D G$ 和 $B F$ 的数量关系是．

(2)、将正方形 $E F C G$ 以C为中心顺时针方向旋转到图2所示位置，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

(3)、如图3，在正方形 $E F C G$ 以C为中心顺时针旋转的过程中，当点E落在正方形 $A B C D$ 的边 $A D$ 上时，若 $C B = 17$ ， $C F = 13$ ，则 $B F$ 的长度是．（请直接写出答案即可）

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23. 综合与探究
如图1，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x + 2$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点D在第一象限内的抛物线上．

(1)、请直接写出点A，B，C的坐标；

(2)、若 $S_{△ C O D} = \frac{1}{3} S_{△ O B D}$ ，求出点D的坐标；

(3)、如图2，在满足（2）的条件下，连接 $B C$ 交 $O D$ 于点E．则 $B C$ 是否平分线段 $O D$ ？请说明理由．

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