山东省济南市历城区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-11-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 如果 $\frac{a}{b} = \frac{5}{3}$ ，那么 $\frac{a - b}{b}$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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2. 下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若 $x = 1$ 是方程 $x^{2} + m x + 3 = 0$ 的一个根，则方程的另一个根是（）

A、3 B、4 C、-3 D、－4

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4. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ，添加下列一个条件，能使矩形 $A B C D$ 成为正方形的是 $($ $)$

A、 $B D = A C$ B、 $D C = A D$ C、 $∠ A O B = 60 °$ D、 $O D = C D$

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5. 如图，小明在A时测得某树的影长为 $8 m$ ， B时又测得该树的影长为 $2 m$ ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（）

A、 $2 m$ B、 $4 m$ C、 $6 m$ D、 $8 m$

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6. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（）

A、2：1 B、1：2 C、3：2 D、 $\sqrt{2}$ ：1

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7. 函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 与函数 $y = k x - k$ 在同一坐标系中的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（）

A、 $150 (1 - x^{2}) = 96$ B、 $150 (1 - x) = 96$ C、 $150 (1 - x)^{2} = 96$ D、 $150 (1 - 2 x) = 96$

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9. 在一个不透明的口袋中，放置3个黄球，1个红球和 $n$ 个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率（如图所示），则 $n$ 的值最可能是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 的顶点 $B$ 在 $x$ 轴上，点 $A$ ，点 $C$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 图象上．若直线 $B C$ 的函数表达式为 $y = \frac{1}{2} x - 4$ ，则k值为（）

A、6 B、12 C、16 D、24

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二、填空题

11. 如图，已知 $A B ∥ C D ∥ E F$ ，若 $A C = 6 ， C E = 3 ， D F = 2$ ，则 $B D$ 的长为．

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12. 某医院要从 $A$ ， $B$ ， $C$ 三名志愿者中任意抽调两人助力全民核酸检测工作，恰好抽到志愿者 $B$ 和 $C$ 的概率是．

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13. 若 $m$ 是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的一个根，则 $m^{2} - m + 2021$ 的值为

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14. 如图，一次函数 $y_{1} = k_{1} x + b$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象交于点 $A (1 ， m)$ ， $B (4 ， n)$ ．当 $y_{1} > y_{2}$ 时，x的取值范围是．

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15. 如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是m．

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16. 如图，点 $C$ 在线段 $A B$ 上，等腰 $△ A D C$ 的顶角 $∠ A D C = 120 °$ ，点 $M$ 是矩形 $C D E F$ 的对角线 $D F$ 的中点，连接 $M B$ ，若 $A B = 6 \sqrt{3}$ ， $A C = 6$ ，则 $M B$ 的最小值为为.

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三、解答题

17. 解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 4 x - 45 = 0$ ；

(2)、 $x (x - 3) = x - 3$ ．

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18. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点E是边 $A D$ 上一点，延长 $A B$ 至点F，使 $B F = A E$ ，连接 $B E ， C F$ ．求证： $∠ A E B = ∠ F$ ．

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19. 已知：如图， $Δ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 8$ ， D为 $B C$ 边上一点， $∠ B D A = ∠ B A C$ ．求 $B D$ 长．

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20. 已知 $△ A B C$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
⑴在图中画出 $△ A B C$ 沿x轴翻折后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
⑵在第一象限方格纸中，以点 $M (1 ， 2)$ 为位似中心，画 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，使它与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 位似，且相似比为2；
⑶填空：点 $A_{2}$ 坐标 ▲ ； $△ A B C$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的周长比是 ▲ ．

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21. 目前微信、支付宝、共享单车、和网购给我们的生活带来很多便利，初二数学小组在校内对你最认可的四大新生事物进行调查，随机调查了m人，（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图

(1)、根据图中信息求出m=；n=；

(2)、请把图中的条形统计图补充完整；

(3)、根据抽样调查结果，请估算全1800名学生中，大约有多少人最认可微信和支付宝这两样新生事物？

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22. 如图，小明想用太阳光的照射来测量一大楼 $A B$ 的高度.大楼 $A B$ 被太阳照射后，其影子投射到与大楼 $A B$ 平行的墙面 $D G$ 的影子为 $D C$ ，小明从大楼 $A B$ 向墙面 $D G$ 移动，当小明移动到点 $F$ 时，恰好使自己的影子与大楼 $A B$ 的影子 $C D$ 重叠，且高度相同.此时，测得影子 $C D = 1.3 m$ ， $D F = 0.8 m$ ， $A D = 40 m$ （点 $D$ 、 $F$ 、 $A$ 在同一直线上），已知小明身高 $E F = 1.7 m$ ，请你求出大楼 $A B$ 的高度.

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23. 社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车区，要铺花砖，其余部分是通道，且宽度相等．已知铺花砖的面积为640平方米．

(1)、求通道的宽是多少米？

(2)、该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．为了维护消费者利益，物价部门规定，每个车位租金不得超过500元，要想让停车场的月租金收入为14400元，每个车位的月租金应上涨多少元？

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24. 如图， $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 10$ ， $B C = 6$ ， D是 $A B$ 的中点，动点P从点A出发，沿线段 $A C$ 以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，设点P的运动时间为t秒．

(1)、当t为多少秒时，以点A、D、P为顶点的三角形与 $Δ A B C$ 相似？

(2)、若 $Δ A P D$ 为钝角三角形，请直接写出t的取值的范围．

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25. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = a x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象相交于 $A (n ， 4)$ ， $B (2 ， 2)$ 两点．

(1)、求反比例函数及一次函数表达式；

(2)、若点P是直线 $A B$ 左侧x轴上一点，若 $△ A B P$ 面积为1，求P点的坐标；

(3)、过点A作直线 $A C$ ，与第三象限的反比例函数图象交于另一点C，连接 $B C$ ，当线段 $A C$ 被y轴分成长度比为 $1 ： 2$ 的两部分时，求 $B C$ 的长．

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26. 如图：

(1)、【问题初探】
如图1， $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点D是 $B C$ 上一点，连接 $A D$ ，以 $A D$ 为一边作 $Δ A D E$ ，使 $∠ D A E = 90 °$ ， $A D = A E$ ，连接 $B E$ ， $B E$ 与 $C D$ 的数量关系，位置关系．

(2)、【类比再探】
如图2， $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点M是 $A B$ 上一点，点D是 $B C$ 上一点，连接 $M D$ ，以 $M D$ 为一边作 $Δ M D E$ ，使 $∠ D M E = 90 °$ ， $M D = M E$ ，连接 $B E$ ，求 $∠ E B D$ 的度数．

(3)、【方法迁移】
如图3， $R t Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ， $B C = 6$ ，点M是 $A B$ 中点，点D是 $B C$ 上一点且 $B D = 1$ ，连接 $M D$ ，以 $M D$ 为一边作 $Δ M D E$ ，使 $∠ D M E = 90 °$ ， $M D = \sqrt{3} M E$ ，连接 $B E$ ，求 $B E$ 的长．

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