广东省深圳市龙华区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2022-11-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 关于x的一元二次方程 $5 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A、5，-2，-1 B、5，2，-1 C、-5，2，1 D、-5，-2，-1

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2. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ，用配方法解该方程，配方后的方程为（）

A、 $(x - 1)^{2} = 10$ B、 $(x - 1)^{2} = 8$ C、 $(x - 1)^{2} = 3$ D、 $(x - 1)^{2} = 4$

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3. 若 $\frac{b}{a} = \frac{3}{4}$ ，则 $\frac{a + b}{a} =$ （）

A、 $\frac{4}{7}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{7}{4}$

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4. 如图， $D E ∥ B C$ ，且 $E C ： B D = 2 ： 3$ ， $A D = 9$ ，则 $A E$ 的长为（）

A、6 B、9 C、3 D、4

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5. 在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 c m$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O， $D E ⊥ A C$ ，垂足为E， $O E = C E$ ，则BC的长为（）

A、 $3 \sqrt{3} c m$ B、6cm C、 $3 \sqrt{5} c m$ D、 $3 \sqrt{2} c m$

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7. 一花户，有26m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为 $80 m^{2}$ 的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门，设垂直于住房墙的其中一边长为x，则可列方程为（）

A、 $x (\frac{27 - x}{2}) = 80$ B、 $x (26 - 2 x) = 80$ C、 $x (\frac{26 - x}{2}) = 80$ D、 $x (27 - 2 x) = 80$

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8. 下列说法中，正确的是（）

A、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是菱形 B、关于x的方程 $k x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 有两个不相等实根，则k的取值范围 $k < 4$ 且 $k \neq 0$ C、正方形的对角线所在的直线是它的对称轴它有2条对称轴 D、点P是线段 $A B$ 的一个黄金分割点（ $A P > P B$ ），若 $A B = 2$ ，则 $A P = 3 - \sqrt{5}$

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9. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O．E、F分别为 $A C 、 B D$ 上一点，且 $O E = O F$ ，连接 $A F ， B E ， E F$ ．若 $∠ A F E = 25 °$ ，则 $∠ C B E$ 的度数为（）

A、 $55 °$ B、 $65 °$ C、 $45 °$ D、 $70 °$

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10. 如图，矩形 $A B C D$ 中，点E在 $B C$ 边上，且 $A E = A D$ ，作 $D F ⊥ A E$ 于点F，连接 $D E ， B F ， B F$ 的延长线交 $D E$ 于点O，交 $C D$ 于点G．以下结论：① $A F = B E$ ；② $D E$ 为 $∠ F D C$ 的角平分线；③若 $A D = \sqrt{2} A B$ ，则 $O F ： B F = C E ： C G$ ；④若 $A E$ 平分 $∠ B A D$ ， $D E = 2$ ，则矩形ABCD的面积为 $2 + 2 \sqrt{2}$ ．则正确结论的个数是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

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二、填空题

11. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + x + a - 4 = 0$ 的一个根为0，则a的值为．

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12. 在一个不透明的袋子中放有m个球，其中有6个红球，这些球除颜色外完全相同．若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色后再放回袋子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.3左右，则m的值约为．

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13. 如图，点E是正方形 $A B C D$ 中 $C D$ 边上的中点，对角线交点为O，连接 $B E$ 交 $A C$ 于F点，则 $C F$ ： $O F =$ ．

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14. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形，对角线 $A C ， B D$ 相交于点O， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $B D = 2$ ，点P是 $A C$ 上一动点，点E是 $A B$ 的中点，则 $P D + P E$ 的最小值为．

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15. 如图，P是边长为6的正方形 $A B C D$ 的边AD上的一个动点（P与A、D不重合）连接 $C P$ ，过点B作 $B H ⊥ C P$ ，将 $△ D P C$ 沿 $C P$ 所在直线翻折得到 $△ C P D^{'}$ ，延长 $P D^{'}$ 交 $C B$ 的延长线于点G，当 $B H = \frac{18 \sqrt{13}}{13}$ 时， $P G$ 的长为．

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三、解答题

16. 解方程

(1)、 $x^{2} = - x$

(2)、 $3 x^{2} + 8 x - 3 = 0$ （用配方法）

(3)、 $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ （用公式法）

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17. 定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，在 $5 \times 5$ 的正方形网格中，若每一个小正方形的边长均为1，请仅用无刻度直尺按要求画图．

(1)、在图①中画一个以 $A B$ 为边画一个格点正方形 $A B C D$ ．

(2)、在图②中画一个格点平行四边形 $A E B F$ ，使平行四边形面积为6．

(3)、在图③中画一个格点菱形 $A M B N$ ， $A M B N$ 不是正方形（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）

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18. 现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球。其中，A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球。

(1)、将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；

(2)、小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜。请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平。

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 为菱形，点E在AC的延长线上， $∠ A C D = ∠ A B E$ ．

(1)、求证： $△ A B C ∽ △ A E B$ ；

(2)、当 $A D = 4$ ， $A C = 3$ 时，求AE的长．

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20. 2022北京冬奥会期间，冰墩墩和雪容融受到人们的广泛喜爱．某网店以每套96元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每套150元上涨到每套216元，此时每天可售出16套冰墩墩和雪容融．

(1)、若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；

(2)、冬奥会闭幕后需求有所下降，需尽快将这批冰墩墩和雪容融售出，决定降价出售．经过市场调查发现：销售单价每降价15元，每天多卖出3套，商店想使每天利润达到2000元，每套价格应为多少元？

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21. 矩形 $A B C D$ 中， $\frac{A B}{B C} = \frac{k}{2} (k > 1)$ ，点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．

(1)、【特例证明】如图，当 $k = 2$ 时，求证： $A E = E F$ ；

(2)、【类比探究】如图，当 $k \neq 2$ 时，求 $\frac{A E}{E F}$ 的值（用含k的式子表示）；

(3)、【拓展运用】如图，当 $k = 3$ 时，P为边CD上一点，连接AP，PF， $∠ P A E = 45 °$ ， $P F = 2 \sqrt{5}$ ，则BC的长为．

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22. 已知：在平面直角坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y = - x + 2$ 与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线 $l_{2}$ 经过点A，与y轴交于点 $C (0 ， - 4)$ ．

(1)、求直线 $l_{2}$ 的解析式；

(2)、如图1，点P为直线 $l_{1}$ 一个动点，是否存在以点P、C、A为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似，若存在请求出点P的坐标及此时 $△ P A C$ 的面积．

(3)、如图2，将 $△ A B C$ 沿着x轴平移，平移过程中的 $△ A B C$ 记为 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请问在平面内是否存在点D，使得以 $A_{1}$ 、 $C_{1}$ 、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．

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