浙教版备考2023年中考数学一轮复习3.有理数的乘方与科学记数法

试卷更新日期：2022-11-20 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. $2^{3}$ 可以表示为（）

A、 $2 + 2 + 2$ B、 $2 \times 2 \times 2$ C、 $2 \times 3$ D、 $3 \times 3$

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2. 下列说法正确的是（）

A、 $- 2^{3}$ 的底数是-2 B、 $2 \times 3^{2}$ 的底数是 $2 \times 3$ C、 ${(- 3)}^{4}$ 的底数是-3，指数是4 D、 $- 3^{4}$ 的幂是-12

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $(- 4)^{2} = - 16$ B、 $2^{3} = 6$ C、 $(- \frac{1}{2})^{3} = - \frac{1}{8}$ D、 $(- 3)^{4} = - 3^{4}$

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4. 下列各对数中，数值相等的是（）

A、+3²与+2³ B、﹣3²与（﹣3）² C、﹣2³与（﹣2）³ D、-(-3)²与-（-2）³

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5. 若 $| 2 x + y + 8 | + (x - 2 y)^{2} = 0$ ，则 $3 x - y$ 的值是（）

A、-6 B、-8 C、-10 D、-12

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6. 当x＝﹣2时，式子3x²+ax+8的值为16，当x＝﹣1时，这个式子的值为（）

A、2 B、9 C、21 D、3

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7. 中国科学院在上海发布了中国首款人工智能芯片：寒武纪（ $M L U 100$ ），该芯片在平衡模式下的等效理论峰值速度达每秒128 000 000 000 000次定点运算，用科学记数法表示128 000 000 000 000，结果为（）

A、 $1.28 \times 1 0^{14}$ B、 $1.28 \times 1 0^{13}$ C、 $128 \times 1 0^{12}$ D、 $0.128 \times 1 0^{11}$

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8. 已知：2¹＝2，2²＝4，2³＝8，2⁴＝16，2⁵＝32，…，那么2²⁰²¹的个位数字是（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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9. 一张厚度为 $1 mm$ 的足够大的正方形纸，假设能对折24次，那么折纸后的高度就远远超过珠穆朗玛峰.如果将上述正方形纸对折12次，那么折纸后的总厚度为（）

A、 $2^{24} mm$ B、 $1 \times 10^{12} mm$ C、 $2 \times 10^{12} mm$ D、 $2^{12} mm$

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10. 任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如 $2^{3} = 3 + 5 ， 3^{3} = 7 + 9 + 11$ ， $4^{3} = 13 + 15 + 17 + 19 \dots \dots$ 仿此，若m³的“分裂数”中有一个是59，则m的值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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二、填空题（每空2分，共20分）

11. 已知 $a$ ， $b$ 都是实数，若 $| a + 1 | + {(b - 2022)}^{2} = 0$ ，则 $a^{b} =$ ．

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12. 已知 $a = {(\frac{2}{3})}^{- 2}$ ， $b = {(- 2)}^{2}$ ， $c = {(π - 2021)}^{0}$ ，则a，b，c的大小关系为．

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13. 若 $\sqrt[3]{x}$ =3，且（y-2x+1）²+ $\sqrt{z - 3}$ =0，则x+y+z的值为．

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14. 已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足 $(a - 3)^{2} + \sqrt{b - 4} + | c - 5 | = 0$ ，则这个三角形的形状是．

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15. 计算： ${(3 - 2)}^{2020} {(3 + 2)}^{2021} =$ .

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16. 一个长方形的长为 $8 \times 1 0^{3} c m$ ．宽为 $5 \times 1 0^{2} c m$ 则它的面积为 $c m^{2}$ ．

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17. 根据如图所示的程序计算，若输入的值为2，则输出y的值为；若输入x的值为 $- 1$ ，则输出y的值为．

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18. 若 $k$ 为正奇数，则 ${(- k - k - \cdot \cdot \cdot - k)}^{k} =$ (底数中含k个k)；若 $k$ 为正偶数，则 ${(- k - k - \cdot \cdot \cdot - k)}^{k} =$ (底数中含k个k)；

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三、解答题（共7题，共70分）

19. 计算：

(1)、 $42 \times (- \frac{2}{3}) \div \frac{7}{2} - 12 \div (- 4)$ ；

(2)、18+32÷（﹣2）³﹣（﹣2）²×5；

(3)、﹣1⁴+（﹣2）×（﹣5）﹣2³÷4．

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20. 规定一种新运算法则：a $\otimes$ b=a²-ab，例如：2 $\otimes$ 3=2²-2×3=-2．请用上述规定计算下面式子的值：4 $\otimes$ (2 $\otimes$ 9)．

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21. 如果记 $y = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} = f (x)$ ，并且 $f (1)$ 表示当 $x = 1$ 时y的值，即 $f (1) = \frac{1^{2}}{1 + 1^{2}} = \frac{1}{2}$ ； $f (\frac{1}{2})$ 表示当 $x = \frac{1}{2}$ 时y的值，即 $f (\frac{1}{2}) = \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1 + {(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{1}{5}$ ；…，求 $f (1) + f (2) + f (\frac{1}{2}) + f (3) + f (\frac{1}{3}) + ⋯ + f (n) + f (\frac{1}{n})$ 的值（结果用含n的代数式表示）．

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22. 已知小东的身高为1.62m，一张纸的厚度约为0.09mm．

(1)、请通过计算说明小东的身高是纸的厚度的多少倍？

(2)、若将这张纸连续对折5次，这时它的厚度是多少？

(3)、假设连续对折始终是可能的，那么对折多少次后，所得的厚度可以超过小东的身高？（其中2¹³＝8192，2¹⁴＝16384，2¹⁵＝32768，2¹⁶＝65536．）

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23. 【观察思考】
画一个大的正五边形，接着画出内嵌的5个黑色小的正五边形，（图1中有1个白色正五边形，有5个黑色正五边形，总共6个正五边形）；接下来每个黑色小五边形内再内嵌的5个更小的正五边形，（图2中有5个白色正五边形，有25个黑色正五边形，总共30个正五边形）继续下去，不断重复此过程……，据此解答下面的问题．

(1)、【规律总结】图3中黑色五边形个数；白色五边形的个数；

(2)、根据这个规律，求图n中黑色五边形个数；白色五边形的个数（用含n的代数式表示）

(3)、【问题解决】当黑色和白色五边形共3750个时，求图n?

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24. 【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2^③ ，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）^④ ，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把 $\frac{a \div a \div a ⋯ \div a}{n 个 a}$ （a≠0）写作a^ⓝ ，读作“a的圈n次方”.

(1)、【初步探究】
直接写出计算结果：2^③＝，（﹣ $\frac{1}{2}$ ）^④＝；

(2)、下列关于除方说法中，错误的是：　　.

A、任何非零数的圈2次方都等于1 B、对于任何正整数n，1^ⓝ＝1 C、3^④＝4^③ D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数

(3)、
【深入思考】

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）^⑤＝，（ $\frac{1}{5}$ ）^⑥＝.

(4)、想一想：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为a^ⓝ＝.

(5)、算一算： $1 2^{2} \div (- \frac{1}{3})^{④} \times (- 2)^{⑥} - (- \frac{1}{3})^{⑥} \div 3^{3}$ ＝.

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25. 如果一个两位数的个位数字是n，十位数字是m，那么我们可以把这个两位数简记为 $\bar{m n}$ ，即 $\bar{m n}$ ＝10m+n．如果一个三位数的个位数字是c，十位数字是b，百位数字是a，那么我们可以把这个三位数简记为 $\bar{a b c}$ ，即 $\bar{a b c}$ ＝100a+10b+c．

(1)、若一个两位数 $\bar{m n}$ 满足 $\bar{m n}$ ＝7m+5n，请求出m，n的数量关系并写出这个两位数．

(2)、若规定：对任意一个三位数 $\bar{a b c}$ 进行M运算，得到整数M（ $\bar{a b c}$ ）＝a³+b²+c．如：M（ $\bar{321}$ ）＝3³+2²+1＝32．若一个三位数 $\bar{5 x y}$ 满足M（ $\bar{5 x y}$ ）＝132．求这个三位数．

(3)、已知一个三位数 $\bar{a b c}$ 和一个两位数 $\bar{a c}$ ，若满足 $\bar{a b c}$ ＝6 $\bar{a c}$ +5c，请求出所有符合条件的三位数．

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