2023年春季浙教版数学九年级下册第一章《解直角三角形》单元检测B

试卷更新日期：2022-11-20 类型：单元试卷

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为 $α$ ，则高BC是（）

A、 $12 \sin α$ 米 B、 $12 \cos α$ 米 C、 $\frac{12}{\sin α}$ 米 D、 $\frac{12}{\cos α}$ 米

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2. 如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的高，若 $B D = 2 C D = 6$ ， $t a n ∠ C = 2$ ，则边 $A B$ 的长为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{5}$ C、 $3 \sqrt{7}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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3. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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4. 如图，已知点B，D，C在同一直线的水平，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β， $C D = a$ ，则建筑物AB的高度为（）

A、 $\frac{a}{t a n α - t a n β}$ B、 $\frac{a}{t a n β - t a n α}$ C、 $\frac{a t a n α t a n β}{t a n α - t a n β}$ D、 $\frac{a t a n α t a n β}{t a n β - t a n α}$

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5. 如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（）

A、cosθ(1+cosθ) B、cosθ(1+sinθ) C、sinθ(1+sinθ) D、sinθ(1+cosθ)

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6. 如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯 $A B$ 的倾斜角为 $37 °$ ，大厅两层之间的距离 $B C$ 为6米，则自动扶梯 $A B$ 的长约为（ $\sin 37 ° \approx 0.6 ， \cos 37 ° \approx 0.8 ， \tan 37 ° \approx 0.75$ ）（）.

A、7.5米 B、8米 C、9米 D、10米

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7. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 $O A B C$ .若 $A B = B C = 1$ . $∠ A O B = α$ ，则 $O C^{2}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{\sin^{2} α} + 1$ B、 $\sin^{2} α + 1$ C、 $\frac{1}{\cos^{2} α} + 1$ D、 $\cos^{2} α + 1$

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8. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，CD是 $⊙ O$ 的直径．若 $C D = 10$ ，弦 $A C = 6$ ，则 $\cos ∠ A B C$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9. 如图，等腰△ABC的面积为2 $\sqrt{3}$ ， AB=AC，BC=2.作AE∥BC且AE= $\frac{1}{2}$ BC.点P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点.那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，使点 $C^{'}$ 落在AB边上，连结 $B B^{'}$ ，则 $\sin ∠ B B^{'} C^{'}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 如图，校园内有一株枯死的大树 $A B$ ，距树12米处有一栋教学楼 $C D$ ，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶 $D$ 处，测得点 $B$ 的仰角为45°，点 $A$ 的俯角为30°，小青计算后得到如下结论：① $A B \approx 18.8$ 米；② $C D \approx 8.4$ 米；③若直接从点 $A$ 处砍伐，树干倒向教学楼 $C D$ 方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点 $A$ 的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼 $C D$ 造成危害.其中正确的是.（填写序号，参考数值： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ， $\sqrt{2} \approx 1.4$ ）

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12. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 2$ ，将线段 $A B$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转，使得点 $B$ 落在边 $C D$ 上的点 $B^{'}$ 处，线段 $A B$ 扫过的面积为．

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13. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔 $A B$ 的高度，他从古塔底部点处前行 $30 m$ 到达斜坡 $C E$ 的底部点C处，然后沿斜坡 $C E$ 前行 $20 m$ 到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为 $30 °$ ，已知斜坡的斜面坡度 $i = 1 ： \sqrt{3}$ ，且点A，B，C，D，在同一平面内，小明同学测得古塔 $A B$ 的高度是．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 3 ， B C = 4$ ，点D、E分别在 $C A$ 、 $C B$ 上，点F在 $△ A B C$ 内.若四边形 $C D F E$ 是边长为1的正方形，则 $\sin ∠ F B A =$ .

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15. 如图，从楼顶 $A$ 处看楼下荷塘 $C$ 处的俯角为 $45 °$ ，看楼下荷塘 $D$ 处的俯角为 $60 °$ ，已知楼高 $A B$ 为 $30$ 米，则荷塘的宽 $C D$ 为米.（结果保留根号）

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16. 如图，把边长为1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四边形ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH＝ $\frac{2}{5}$ BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝.

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三、解答题（共9题，共72分）

17. 计算： $6 \sin 45 ° - | 1 - \sqrt{2} | - \sqrt{8} \times {(π - 2021)}^{0} - {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ .

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18. 计算：（﹣1）³+| $\sqrt{2} -$ 1|﹣（ $\frac{1}{2}$ ）^﹣²+2cos45° $- \sqrt{8}$ .

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19. 旗杆及升旗台的剖面如图所示，MN、CD为水平线，旗杆AB⊥CD于点B．某一时刻，旗杆AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一时刻，测得竖直立在坡面DN上的1m高的标杆影长为0.25m（标杆影子在坡面DN上），此时光线AE与水平线的夹角为80.5°，求旗杆AB的高度．（参考数据：sin80.5°≈0.98，cos80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）

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20. 随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实.如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一.图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据， $B C = 8$ ， $C D = 2$ ， $∠ D = 135 °$ ， $∠ C = 60 °$ ，且 $A B ∥ C D$ ，求出垂尾模型ABCD的面积.（结果保留整数，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）
图1 图2

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21. 我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔.小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点 $A$ 处测得阿育王塔最高点 $C$ 的仰角 $∠ C A E = 45 °$ ，再沿正对阿育王塔方向前进至 $B$ 处测得最高点 $C$ 的仰角 $∠ C B E = 53 °$ ， $A B = 10 m$ ；小亮在点 $G$ 处竖立标杆 $F G$ ，小亮的所在位置点 $D$ 、标杆顶 $F$ 、最高点 $C$ 在一条直线上， $F G = 1.5 m$ ， $G D = 2 m$ .

(1)、求阿育王塔的高度 $C E$ ；

(2)、求小亮与阿育王塔之间的距离 $E D$ .
（注：结果精确到 $0.01 m$ ，参考数据： $\sin 53 ° \approx 0.799$ ， $\cos 53 ° \approx 0.602$ ， $\tan 53 ° \approx 1.327$ ）

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22. 小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD=BE=10cm，CD=CE=5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE=40°．

(1)、连结DE，求线段DE的长．

(2)、求点A、B之间的距离．
(结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36．sin40°≈0.64．cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)

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23. 如图，斜坡

A B

的坡角

∠ B A C = 13 °

，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板.前排光伏板的一端位于点

A

，过其另一端

D

安装支架

D E

，

D E

所在的直线垂直于水平线

A C

，垂足为点

F ， E

为

D F

与

A B

的交点.已知

A D = 100 cm

，前排光伏板的坡角

∠ D A C = 28 °

参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41 ， \sqrt{3} \approx 1.73 ， \sqrt{6} \approx 2.45$

三角函数锐角 $A$	13°	28°	32°
$\sin A$	0.22	0.47	0.53
$\cos A$	0.97	0.88	0.85
$\tan A$	0.23	0.53	0.62

(1)、求

A E

的长（结果取整数）；

(2)、冬至日正午，经过点

D

的太阳光线与

A C

所成的角

∠ D G A = 32 °

.后排光伏板的前端

H

在

A B

上.此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则

E H

的最小值为多少（结果取整数）？

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24. 某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为 $10 (3 + \sqrt{3})$ 海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东 $60 °$ 的方向上，当海监船行驶 $20 \sqrt{2}$ 海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东 $45 °$ 方向上.

(1)、求A，P之间的距离AP；

(2)、若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由.如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？

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25. 如图， $△ A B C$ 和 $△ D B E$ 的顶点 $B$ 重合， $∠ A B C = ∠ D B E = 90 °$ ， $∠ B A C = ∠ B D E = 30 °$ ， $B C = 3$ ， $B E = 2$ .

(1)、特例发现：如图1，当点 $D$ ， $E$ 分别在 $A B$ ， $B C$ 上时，可以得出结论： $\frac{A D}{C E} =$ ，直线 $A D$ 与直线 $C E$ 的位置关系是；

(2)、探究证明：如图2，将图1中的 $△ D B E$ 绕点 $B$ 顺时针旋转，使点 $D$ 恰好落在线段 $A C$ 上，连接 $E C$ ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)、拓展运用：如图3，将图1中的 $△ D B E$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $α (19 ° < α < 60 °)$ ，连接 $A D$ 、 $E C$ ，它们的延长线交于点 $F$ ，当 $D F = B E$ 时，求 $t a n (60 ° - α)$ 的值.

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2023年春季浙教版数学九年级下册第一章 《解直角三角形》单元检测B

一、单选题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共9题，共72分）

2023年春季浙教版数学九年级下册第一章《解直角三角形》单元检测B