2022-2023学年浙教版数学九上期末复习专题三角形的内切圆

试卷更新日期：2022-11-19 类型：复习试卷

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 已知 $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的内切圆，且 $∠ A B C = 50 °$ ， $∠ A C B = 80 °$ ，则 $∠ B O C$ 等于（）

A、 $125 °$ B、 $120 °$ C、 $115 °$ D、 $110 °$

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2. 如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长为（）

A、14 B、20 C、24 D、30

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3. 如图，点I是 $△ A B C$ 的内心，若 $∠ I = 116 °$ ，则 $∠ A$ 等于（）

A、50° B、52° C、54° D、56°

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，则 $△ A B C$ 的内切圆半径r长为（）

A、1.5 B、1 C、2 D、1.2

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5. 已知 $△ A B C$ 的内心为P，则下列说法错误的是（）

A、 $P A = P B = P C$ B、P在 $△ A B C$ 的内部 C、P为 $△ A B C$ 三个内角平分线的交点 D、P到三边距离相等

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6. 如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（）

A、14cm B、8cm C、7cm D、9cm

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7. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 50 °$ ， $∠ A C B = 74 °$ ，点O是 $△ A B C$ 的内心．则 $∠ B O C$ 等于（）

A、124° B、118° C、112° D、62°

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8. 如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，若剪下的三角形的周长为8cm，则BC为（）

A、8cm B、5cm C、6.5cm D、无法确定

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9. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（）

A、8 B、10 C、12 D、14

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10. 一直角三角形的斜边长为c，其内切圆半径是r，则三角形面积与其内切圆的面积之比是（）

A、 $\frac{c + 2 r}{π r}$ B、 $\frac{c + r}{π r}$ C、 $\frac{2 c + r}{π r}$ D、 $\frac{c^{2} + r^{2}}{π r}$

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为．

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12. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， M是BC的中点， $△ A B M$ 的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，连接DE．若 $D E ∥ A M$ ，则 $∠ C$ 的大小为．

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13. 若方程x²-7x+12=0的两个根分别是直角三角形两直角边的长，则这个直角三角形的内切圆半径为.

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14. 如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 80 °$ ，半径为3cm的 $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的内切圆，连接 $O B$ 、 $O C$ ，则图中阴影部分的面积是cm².（结果用含 $π$ 的式子表示）

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16. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”．其意思是：“如图，现有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少？”答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是步．

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三、解答题（共8题，共66分）

17. $△ A B C$ 的顶点都在正方形网格格点上，如图所示．

(1)、将 $△ A B C$ 绕点A顺时针方向旋转 $9 0^{∘}$ 得到 $△ A B^{'} C^{'}$ （点 $B$ 对应点 $B^{'}$ ），画出 $△ A B^{'} C^{'}$ ．

(2)、请找出过 $B ， C ， C^{'}$ 三点的圆的圆心，标明圆心 $O$ 的位置．

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18. 已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．

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19. 已知：如图，点 $E$ 是△ $A B C$ 的内心， $A E$ 的延长线和△ $A B C$ 的外接圆相交于点 $D$ .求证： $D E = D B$ .

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20. 已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．

(1)、若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；

(2)、若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．

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21. 图，在 $△ A B C$ 中，AB＝AC，⊙O是 $△ A B C$ 的外接圆，点D在⊙O上且∠BCD＝∠ACB，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF.

(1)、求证：AF是⊙O的切线；

(2)、若点G是 $△ A C D$ 的内心， $B C \cdot B E = 25$ ，求BG的长.

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22. 已知开口向上的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与直线：y=ax+c，y=cx+a中的每一条都至多有一个公共点.

(1)、求 $\frac{c}{a}$ 的最大值；

(2)、当 $\frac{c}{a}$ 取最大值时，设直线 $y = \frac{31}{4} a$ 交抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 于A，B两点，C为抛物线的顶点，若△ABC内切圆的半径为1，求a的值.

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23. 如图， $O$ 是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点.

(1)、求证：EB＝EI；

(2)、若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长.

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24. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积.若改用现代数学语言表示，其形式为：设 $a$ ， $b$ ， $c$ 为三角形三边， $S$ 为面积，则 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ ①
这是中国古代数学的瑰宝之一.

而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设 $p = \frac{a + b + c}{2}$ （周长的一半），则 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ②

(1)、尝试验证.这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；

(2)、问题探究.经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从① $\Rightarrow$ ②或者② $\Rightarrow$ ① $）$ ；

(3)、问题引申.三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式.请你证明如下这个公式：如图， $Δ A B C$ 的内切圆半径为 $r$ ，三角形三边长为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，仍记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ， $S$ 为三角形面积，则 $S = p r$ .

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2022-2023学年浙教版数学九上期末复习专题 三角形的内切圆

一、单选题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题4分，共24分）

三、解答题（共8题，共66分）

2022-2023学年浙教版数学九上期末复习专题三角形的内切圆