天津市河西区2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 观察数列 $\frac{1}{2} ， - \frac{1}{6}$ ，（）， $- \frac{1}{20} ， \frac{1}{30}$ ，（） $\dots$ 的特点，则括号中应填入的适当的数为（）

A、 $\frac{1}{12} ， - \frac{1}{40}$ B、 $- \frac{1}{12} ， \frac{1}{40}$ C、 $\frac{1}{10} ， - \frac{1}{42}$ D、 $\frac{1}{12} ， - \frac{1}{42}$

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2. 设函数 $f (t) = 2 t^{2} + \frac{3}{2} t$ ，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（）

A、5.25 B、10.5 C、5.5 D、11

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3. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}} (n \in N^{*})$ ，则该数列的前2021项的乘积是（）

A、-2 B、-1 C、2 D、1

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4. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 $\frac{1}{7}$ 是较小的两份之和，则最小的一份为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{10}{3}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{11}{6}$

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5. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 4$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{9}$ ，构成等比数列，则公差 $d =$ （）

A、0或2 B、2 C、0 D、0或 $- 2$

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7. 函数 $y = e^{- 2 x + 1} \cos (- x^{2} + x)$ 的导数为（）

A、 $y^{'} = e^{- 2 x + 1} [2 \sin (x^{2} - x) + (2 x - 1) \cos (x^{2} -$ $x)]$ B、 $y^{'} = - e^{- 2 x + 1} [2 \cos (x^{2} - x) + (2 x - 1) \sin (x^{2}$ $- x)]$ C、 $y^{'} = - e^{- 2 x + 1} [2 \sin (x^{2} - x) + (2 x - 1) \cos (x^{2}$ $- x)]$ D、 $y^{'} = e^{- 2 x + 1} [2 \cos (x^{2} - x) + (2 x - 1) \sin (x^{2} -$ $x)]$

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8. 已知定义在区间 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x) = - 2 x^{2} + m$ ， $g (x) = - 3 \ln x - x$ ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（）

A、2 B、5 C、1 D、0

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9. 将数列 ${2 n - 1}$ 中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，…，进行排列， $(1) ， (3 ， 5)$ ， $(7 ， 9 ， 11 ， 13) ， (15 ， 17 ， 19 ， 21 ， 23 ， 25 ， 27 ， 29)$ ， …，则以下结论中正确的是（）

A、第10个括号内的第一个数为1025 B、2021在第11个括号内 C、前10个括号内一共有1025个数 D、第10个括号内的数字之和 $S \in (2^{19} ， 2^{20})$

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二、填空题

10. 已知数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 都是等差数列，公差分别为 $d_{1} ， d_{2}$ ，数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = a_{n} + 2 b_{n}$ ，则数列 ${c_{n}}$ 的公差为．

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11. 已知 $a = 4 + 2 \sqrt{3} ， c = 4 - 2 \sqrt{3}$ ，若 $a ， b ， c$ 三个数成等差数列，则 $b =$ ；若 $a ， b ， c$ 三个数成等比数列，则 $b =$ ．

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12. 函数 $f (x) = 2 \cos (- 2 x + \frac{π}{6})$ ，其导函数为函数 $f^{'} (x)$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{6}) =$ ．

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13. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足通项公式 $a_{1} = 2021 ， S_{n} = n^{2} a_{n}$ ，则 $a_{2021} =$ ．

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14. 函数 $f (x) = \frac{e^{2 x - 1}}{x^{2}}$ 在点 $(\frac{1}{2} ， f (\frac{1}{2}))$ 处的切线方程是．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} = \frac{n - 4}{2 n - 25}$ ，则 $S_{n}$ 取得最大值时n的值为 $a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14} + a_{15} =$ ．

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三、解答题

16. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ，且满足 $a_{n + 1} - 3 a_{n} = 3^{n + 1} (n \in N *)$ ．

(1)、求证数列 ${\frac{a_{n}}{3^{n}}}$ 是等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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17. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f (x) = 2 x f^{'} (e) + \ln x$ ．

(1)、求 $f^{'} (e)$ 及 $f (e)$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在点 $x = e^{2}$ 处的切线方程．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n (n \in N^{*})$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列， $a_{1} = 3$ ， $b_{1} = 1$ ， $b_{2} + S_{2} = 10$ ， $a_{5} - 2 b_{2} = a_{3}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = {\begin{cases} \frac{2}{S_{n}} ， n 为奇数 \\ b_{n} ， n 为偶数 \end{cases}$ ，设数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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