天津市河北区2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 过点 $P (2 ， 1)$ 作圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线 $l$ ，则切线 $l$ 的方程为（）

A、 $4 x - 3 y - 5 = 0$ B、 $4 x - 3 y - 9 = 0$ C、 $y = 1$ 或 $4 x - 3 y - 5 = 0$ D、 $y = 1$ 或 $4 x - 3 y - 9 = 0$

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2. 已知圆 $C_{1} ： {(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} ： {(x - 7)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 16$ ，则两圆的位置关系是（）

A、外切 B、内切 C、相交 D、相离

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3. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的焦点坐标为（）

A、 $(\pm 5 ， 0)$ B、 $(\pm 3 ， 0)$ C、 $(0 ， \pm 5)$ D、 $(0 ， \pm 3)$

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4. 双曲线x² $- \frac{y^{2}}{4} =$ 1的渐近线方程是（）

A、y=± $\frac{\sqrt{5}}{5}$ x B、y=± $\sqrt{5}$ x C、y=± $\frac{1}{2} x$ D、y=±2x

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5. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的准线方程为（）

A、 $x = - \frac{1}{4}$ B、 $x = - \frac{1}{2}$ C、 $y = - \frac{1}{4}$ D、 $y = - \frac{1}{8}$

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6. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 12$ ， $S_{5} = 90$ ，则公差 $d$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、3 D、4

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7. 等比数列 ${a_{n}}$ 的第4项与第6项分别为12和48，则公比 $q$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 2$ 或2 D、 $- \frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{2}$

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8. 若双曲线 $C$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{24} = 1$ 有公共焦点，且离心率 $e = \frac{5}{4}$ ，则双曲线 $C$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$

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9. 如图，在单位正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以 $D$ 为原点， $\vec{D A}$ ， $\vec{D C}$ ， $\vec{D D_{1}}$ 为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面 $A_{1} B C_{1}$ 的法向量是（）

A、 $(1$ ， 1， $1)$ B、 $(- 1$ ， 1， $1)$ C、 $(1$ ， $- 1$ ， $1)$ D、 $(1$ ， 1， $- 1)$

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10. 一动圆与两圆x²+y²＝1和x²+y²﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线的一支 D、抛物线

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二、填空题

11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} = {\begin{matrix} 2 ， & n 为奇数 \\ n + 1 ， & n 为偶数 \end{matrix}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前5项为.

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12. 已知两点 $A (4 ， 9)$ 和 $B (6 ， 3)$ 则以 $A B$ 为直径的圆的标准方程是.

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13. 若经过点 $M (2 ， 0)$ 且斜率为1的直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A B | =$ .

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14. 若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{v} = (1 ， 0 ， 3)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (- 2 ， 0 ， 2)$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ，若点 $P (a_{n} ， a_{n + 1}) (n \in N *)$ 在直线 $x - y + 1 = 0$ 上，则 $S_{n} =$ ； $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}} =$ .

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三、解答题

16. 已知点 $P (5 ， 0)$ 和圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 3 = 0$ .

(1)、求圆 $C$ 的圆心坐标和半径；

(2)、设 $Q$ 为圆 $C$ 上的点，求 $| P Q |$ 的取值范围.

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 1 (n \in N *)$ ，数列 ${b_{n}}$ 是公差不为0的等差数列，满足 $b_{2} = 4$ ，且 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{4}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $D$ ， $F$ ， $G$ 分别为 $C C_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点，点 $E$ 在棱 $B B_{1}$ 上，且 $B C = 2$ ， $C C_{1} = 4$ ， $E B_{1} = 1$ .

(1)、求证： $B_{1} D ⊥$ 平面 $A B D$ ；

(2)、求证：平面 $E F G ∕ ∕$ 平面 $A B D$ ；

(3)、求平面 $E F G$ 与平面 $A B D$ 的距离.

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $B (0 ， 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若直线l与椭圆C交于M、N两点，直线BM与直线BN的斜率之积为 $\frac{1}{2}$ ，证明直线l过定点并求出该定点坐标．

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