天津市部分区2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在空间直角坐标系中，已知点A(1，1，2)，B(－3，1，－2)，则线段AB的中点坐标是（）

A、(－2，1，2) B、(－1，1，0) C、(－2，0，1) D、(－1，1，2)

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2. 已知抛物线的焦点坐标是 $(- 1 ， 0)$ ，则抛物线的标准方程为（）

A、 $x^{2} = 4 y$ B、 $x^{2} = - 4 y$ C、 $y^{2} = 4 x$ D、 $y^{2} = - 4 x$

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3. 经过点A(0，－3)且斜率为2的直线方程为（）

A、 $2 x - y - 3 = 0$ B、 $2 x + y + 3 = 0$ C、 $x - 2 y - 6 = 0$ D、 $x + 2 y + 6 = 0$

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4. 在等比数列{ $a_{n}$ }中， $a_{3} = 4$ ， $a_{13} = 36$ ，则 $a_{8}$ =（）

A、9 B、12 C、±9 D、±12

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5. 离心率为，长轴长为6的椭圆的标准方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 或 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ 或 $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

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6. 圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 9 = 0$ 的圆心到直线 $a x + y + 1 = 0$ 的距离为2，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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7. 某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第1天只得到10元，之后采取了积极措施，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（）

A、13 B、14 C、15 D、16

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8. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线被圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 所截得的弦长为2，的C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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9. 已知四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C到平面AB₁D₁的距离为 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ ，则直线 $B_{1} D$ 与平面 $A B_{1} D_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{7}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{10}$

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二、填空题

10. 若直线 $x + y + a = 0$ 过圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 2$ 的圆心，则实数a的值为.

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11. 记 $S_{n}$ 为等差数列{ $a_{n}$ }的前n项和，若 $a_{2} = 4$ ， $S_{4} = 20$ ，则 $a_{9}$ =.

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12. 已知双曲线过点（4， $\sqrt{3}$ ），且渐近线方程为y= $\pm$ $\frac{1}{2}$ x，则该双曲线的标准方程为。

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13. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1 ， 2)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标是．

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14. 已知B( $- \sqrt{3}$ ， 0)是圆A： ${(x - \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = 16$ 内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为.

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15. 若直线l经过A(2，1)，B(1， $m^{2}$ )两点，则l的斜率取值范围为；其倾斜角的取值范围为.

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三、解答题

16. 已知圆C经过 $A (1 ， 3)$ ， $B (4 ， 2)$ ， $M (1 ， - 7)$ 三点，并且与y轴交于P，Q两点，求线段PQ的长度.

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17. 已知各项均为正数的等比数列{ $a_{n}$ }的前4项和为15，且 $a_{5} = 3 a_{3} + 4 a_{1}$ .

(1)、求{ $a_{n}$ }的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 2 n \cdot a_{n} (n \in N^{*})$ ，记数列{ $b_{n}$ }的前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ .

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18. 求证：

(1)、 $f (x) = | x + 3 | + | x - 3 |$ 是 $R$ 上的偶函数；

(2)、 $g (x) = | x + 3 | - | x - 3 |$ 是 $R$ 上的奇函数.

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19. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F( $\sqrt{3}$ ， 0)，且点M(－ $\sqrt{3}$ ， $\frac{1}{2}$ )在椭圆上.

(1)、求椭圆的方程；

(2)、直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，过原点O作l的垂线，垂足为P，若 $λ = {| O P |}^{2} - \frac{4}{| A B |}$ ，求λ的值.

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20. 已知等比数列{ $a_{n}$ }的各项均为正数， $2 a_{5}$ ， $a_{4}$ ， $4 a_{6}$ 成等差数列， $a_{4} = 4 a_{3}^{2}$ ，数列{ $b_{n}$ }的前n项和 $S_{n} = \frac{(n + 1)}{2} b_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $b_{1} = 1$ .

(1)、求{ $a_{n}$ }和{ $b_{n}$ }的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{(b_{2 n + 1} + 3) a_{n}}{(b_{2 n + 1} - 1) (b_{2 n + 1} + 1)} (n \in N^{*})$ ，记数列{ $c_{n}$ }的前n项和为 $A_{n}$ .求证： $A_{n} < \frac{1}{2}$ .

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