四川省攀枝花市2021-2022学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-11-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 焦点在 $y$ 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为 $2$ 的抛物线的标准方程是（）

A、 $x^{2} = 4 y$ B、 $x^{2} = 2 y$ C、 $y^{2} = 4 x$ D、 $y^{2} = 2 x$

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2. 若随机事件 $A ， B$ 满足 $P (A B) = \frac{1}{6}$ ， $P (A) = \frac{2}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ，则事件 $A$ 与 $B$ 的关系是（）

A、互斥 B、相互独立 C、互为对立 D、互斥且独立

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3. $2021$ 年 $5$ 月 $11$ 日我国公布了第七次全国人口普查结果. 自新中国成立以来，我国共进行了七次全国人口普查，如图为我国历次全国人口普查人口性别构成及总人口性别比（以女性为 $100$ ，男性对女性的比例）统计图，则下列说法错误的是（）

A、第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破 $12$ 亿 B、第一次全国人口普查时，我国总人口性别比最高 C、我国历次全国人口普查总人口数呈递增趋势 D、我国历次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势

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4. 甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数相同的是（）

A、极差 B、方差 C、平均数 D、中位数

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5. ${(a x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x$ 的系数为 $80$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $\pm 1$ D、 $\pm 2$

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6. 已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{3} = 1$ 的两个焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，且平行于 $y$ 轴的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，那么 $| A F_{1} | + | B F_{1} |$ 的值为（）

A、 $4$ B、 $3$ C、 $2$ D、 $2 \sqrt{7}$

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7. 某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两位老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于 $2$ 分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于 $2$ 分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分. 如图所示，当 $x_{1} = 6$ ， $x_{2} = 9$ ， $p = 6.5$ 时，则 $x_{3} =$ （）

A、 $4$ B、 $7$ C、 $4$ 或 $7$ D、 $7.5$

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8. 国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事.某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有（）

A、120种 B、48种 C、36种 D、18种

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9. 某制药厂为了检验某种疫苗预防的作用，把 $1000$ 名使用疫苗的人与另外 $1000$ 名未使用疫苗的人一年中的记录作比较，提出假设 $H_{0}$ ：“这种疫苗不能起到预防的作用”，利用 $2 \times 2$ 列联表计算得 $K^{2} \approx 3.918$ ，经查对临界值表知 $P (K^{2} \geq 3.841) \approx 0.05$ . 则下列结论中，正确的结论是（）

A、若某人未使用该疫苗，则他在一年中有 $95 %$ 的可能性生病 B、这种疫苗预防的有效率为 $95 %$ C、在犯错误的概率不超过 $5 %$ 的前提下认为“这种疫苗能起到预防的作用” D、有 $95 %$ 的把握认为这种疫苗不能起到预防生病的作用

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10. 已知双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $M$ 在 $C$ 的左支上，过点 $M$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $N$ ，则 $| M F_{2} | + | M N |$ 的最小值为（）

A、 $2 + \sqrt{2}$ B、 $2 + \sqrt{5}$ C、 $2$ D、 $4$

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11. 若动点 $P$ 在方程 $\sqrt{1 - x^{2}} \times \sqrt{1 - 4 y^{2}} = - 2 x y$ 所表示的曲线 $C$ 上，则以下结论正确的是（）
①曲线 $C$ 关于原点成中心对称图形；

②动点 $P$ 到坐标原点的距离的取值范围为 $[\frac{1}{2} ， 1]$ ；

③动点 $P$ 与点 $M (\frac{\sqrt{3}}{2} ， 0)$ 的最小距离为 $\frac{1}{4}$ ；

④动点 $P$ 与点 $Q (2 ， 1)$ 的连线斜率的取值范围是 $[\frac{3}{4} ， 1]$ .

A、①② B、①②③ C、③④ D、①②④

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12. 已知圆 $O$ 的半径为 $r$ ，平面上一定点 $A$ 到圆心的距离 $| O A | = 2$ ， $P$ 是圆 $O$ 上任意一点.线段 $A P$ 的垂直平分线 $l$ 和直线 $O P$ 相交于点 $Q$ ，设点 $P$ 在圆 $O$ 上运动时，点 $Q$ 的轨迹为 $C$ ，当 $r \in (\frac{1}{2} ， 2) \cup (4 ， 6)$ 时，轨迹 $C$ 对应曲线的离心率取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{4} ， 1) \cup (1 ， 4)$ B、 $(\frac{1}{4} ， 1) \cup (2 ， 3)$ C、 $(\frac{1}{3} ， \frac{1}{2}) \cup (2 ， 3)$ D、 $(\frac{1}{3} ， \frac{1}{2}) \cup (1 ， 4)$

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二、填空题

13. 某校有高一学生 $450$ 人，高二学生 $420$ 人. 为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为 $n$ 的样本，已知从高一学生中抽取 $15$ 人，则 $n =$ ．

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14. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果 $s =$ ．

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15. 千年一遇对称日，万事圆满在今朝， $2021$ 年 $12$ 月 $02$ 日又是一个难得的“世界完全对称日”（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）. 数学上把 $20211202$ 这样的对称自然数叫回文数，两位数的回文数共有 $9$ 个（ $11 ， 22 ， \dots ， 99$ ），其中末位是奇数的 $11 ， 33 ， 55 ， 77 ， 99$ 又叫做回文奇数，则在 $(10 ， 10000)$ 内的回文奇数的个数为．

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16. 已知双曲线 $C$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，右顶点为 $A$ ， $P$ 为双曲线 $C$ 上一点，且 $| P A | = | P F_{2} |$ ，线段 $P F_{1}$ 的垂直平分线恰好经过 $A$ 点，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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三、解答题

17. 已知双曲线 $C$ 与椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 有公共焦点，且它的一条渐近线方程为 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的焦点坐标；

(2)、求双曲线 $C$ 的标准方程．

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18. 在① $a_{2} = 22$ ；② $C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n} = 127 (n \in N^{*})$ ；③ $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n - 1} + a_{n} = 130$ ；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题.注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
已知 ${(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，且　　（只需填序号）.

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中 $x$ 的奇数次幂的项的系数之和．

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19. 某市对新形势下的中考改革工作进行了全面的部署安排. 中考录取科目设置分为固定赋分科目和非固定赋分科目，固定赋分科目（语文、数学、英语、物理、体育与健康）按卷面分计算；非固定赋分科目（化学、生物、道德与法治、历史、地理）按学生在该学科中的排名进行等级赋分，即根据改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A ， $B +$ ， $B$ ， $C +$ ， $C$ ， $D +$ ， $D$ ， $E$ 共 $8$ 个等级. 参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为 $3 %$ ， $7 %$ ， $16 %$ ， $24%$ ， $24%$ ， $16 %$ ， $7 %$ ， $3 %$ . 等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至 $E$ 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到 $[90 ， 100]$ ， $[80 ， 90)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[40 ， 50)$ ， $[30 ， 40)$ ， $[20 ， 30)$ 八个分数区间，得到考生的等级成绩. 该市学生的中考化学原始成绩制成频率分布直方图如图所示：

附： $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ .

(1)、求图中 $a$ 的值；

(2)、估计该市学生中考化学原始成绩不少于多少分才能达到 $B +$ 等级及以上（含 $B +$ 等级）？

(3)、由于中考改革后学生各科原始成绩不再返回学校，只告知各校参考学生的各科平均成绩 $\bar{x}$ 及方差 $s^{2}$ . 已知某校初三共有 $1000$ 名学生参加中考，为了估计该校学生的化学原始成绩达到 $B +$ 等级及以上（含 $B +$ 等级）的人数 $Z$ ，将该校学生的化学原始成绩 $X$ 看作服从正态分布 $N (μ ， σ^{2}) (σ > 0)$ ，并用这 $1000$ 名学生的化学平均成绩 $\bar{x} = 59$ 作为 $μ$ 的估计值，用这 $1000$ 名学生化学成绩的方差 $s^{2} = 169$ 作为 $σ^{2}$ 的估计值，计算人数 $Z$ （结果保留整数）．

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20. 某企业计划新购买 $100$ 台设备，并将购买的设备分配给 $100$ 名年龄不同（视为技术水平不同）的技工加工一批模具，因技术水平不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同. 若用变量 $x$ 表示不同技工的年龄，变量 $y$ 为相应的效益值（元），根据以往统计经验，他们的工作效益满足最小二乘法，且 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 1.2 x + 40.6$ ．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{100} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 121$ ， $\sum_{i = 1}^{100} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 225$ .

参考公式：回归直线 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ .

(1)、试预测一名年龄为 $52$ 岁的技工使用该设备所产生的经济效益；

(2)、试根据 $r$ 的值判断使用该批设备的技工人员所产生的的效益与技工年龄的相关性强弱（ $0.75 \leq | r | \leq 1$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 线性相关性很强； $| r | < 0.75$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 线性相关性不强）；

(3)、若这批设备有 $A ， B$ 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是 $0.02$ ， $0.03$ . 若两道工序都没有出现故障，则生产成本不增加；若 $A$ 工序出现故障，则生产成本增加 $2$ 万元；若 $B$ 工序出现故障，则生产成本增加 $3$ 万元；若 $A ， B$ 两道工序都出现故障，则生产成本增加 $5$ 万元. 求这批设备增加的生产成本的期望．

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在第一象限且为抛物线 $C$ 上一点，点 $N (5 ， 0)$ 在点 $F$ 右侧，且△ $M N F$ 恰为等边三角形．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l ： x = k y + m$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，向量 $\vec{O A} ， \vec{O B}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ （其中 $O$ 为坐标原点），求实数 $k$ 的取值范围.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点、上顶点和右焦点分别为 $A ， B ， F$ ，且 $△ A B F$ 的面积为 $\frac{b^{3}}{a}$ ，椭圆 $C$ 上的动点到 $F$ 的最小距离是 $1$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过椭圆 $C$ 的左顶点 $A$ 作两条互相垂直的直线交椭圆 $C$ 于不同的两点 $M ， N$ （异于点 $A$ ）.
①证明：动直线 $M N$ 恒过 $x$ 轴上一定点 $E$ ；

②设线段 $M N$ 的中点为 $Q$ ，坐标原点为 $O$ ，求 $△ Q E O$ 的面积 $S_{△ Q E O}$ 的最大值.

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